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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.3.3几何问题与行程问题第五章二元一次方程组北师大版八年级上册5.3.3应用二元一次方程组——几何问题与行程问题练习题核心知识点回顾本节主要利用二元一次方程组解决几何图形问题和行程问题，是本册重难点应用题型。几何问题以长方形、正方形边长、周长、角度计算为主，核心依据周长公式、角度和差关系找等量；行程问题包含相遇、追及、航行三类模型，核心公式：路程=速度×时间。解题关键：几何题从边长、周长、角度固定关系列等式；行程题区分同向追及、相向相遇、顺水逆水的速度关系，设两个未知量构建方程组求解。一、基础夯实题（共3题，侧重基础建模）1.一个长方形的长与宽的和是18cm，长比宽多4cm，设长为x cm，宽为y cm，列出二元一次方程组。2.甲乙两人匀速行走，相向而行2分钟相遇，已知两人每分钟路程和为120米，总路程240米，请根据题意梳理基础等量关系。3.一个长方形周长为40cm，长增加2cm，宽不变，周长变为44cm，求长方形原长和宽。二、能力提升题（共2题，常考题型）1.几何题型：长方形长、宽各增加3cm，周长比原来增加12cm，已知原长是宽的2倍，求原长方形的长和宽。2.行程相遇题：甲、乙两车从相距360km的两地相向而行，3小时相遇。已知甲车每小时比乙车快20km，求甲乙两车的速度。三、经典压轴应用题（1题，航行追及综合）一艘船往返于A、B两个码头之间，顺水航行需要3小时，逆水航行需要5小时。已知船在静水中的速度比水流速度快20km/h，求船在静水中的速度和水流速度，以及A、B两码头的距离。参考答案与解析一、基础夯实1.根据题意列方程组：$$\begin{cases} x+y=18 \\ x-y=4 \end{cases}$$。2.等量关系：甲路程+乙路程=总路程；(甲速度+乙速度)×相遇时间=总路程。3.设原长x cm，宽y cm，$$2(x+y)=40$$，化简得$$x+y=20$$，结合条件解得原长12cm，宽8cm。二、能力提升1.设宽为x cm，长为y cm，列方程组：$$\begin{cases} y=2x \\ 2[(y+3)+(x+3)]-2(x+y)=12 \end{cases}$$，解得$$x=6，y=12$$。答：原长12cm，宽6cm。2.设甲速度x km/h，乙速度y km/h，方程组：$$\begin{cases} x-y=20 \\ 3(x+y)=360 \end{cases}$$，解得$$x=80，y=60$$。答：甲车80km/h，乙车60km/h。三、经典压轴应用设静水速度为x km/h，水流速度为y km/h，顺水速度$$x+y$$，逆水速度$$x-y$$。列方程组：$$\begin{cases} x-y=20 \\ 3(x+y)=5(x-y) \end{cases}$$，解得$$x=40，y=20$$。码头距离：$$3\times(40+20)=180$$km。答：静水速度40km/h，水流速度20km/h，两码头相距180km。易错总结：几何问题牢记周长、边长变化规律，避免漏算边数；行程问题分清顺水/逆水、同向/相向速度关系，不要混淆公式；解题优先找准两组不变等量关系，再列方程组求解。学会利用二元一次方程组解决图形、行程问题，提高综合素养能力，加强用数学语言描述现实世界的能力，培养模型意识和观念.
自主学习，小组合作交流，通过构建等量关系解决实际问题.
在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
新课导入
如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
40
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）你能列方程组解决这个问题吗？
设小长方形墙砖长为xcm，宽为ycm.
x=3y
x+y=40
新课导入
40
设小长方形墙砖长为xcm，宽为ycm.
x=3y
x+y=40
解：
根据题意，得
解此方程组得
所以，小长方形墙砖长为30cm，宽为10cm.
如图(单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
典例精析
火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s，求隧道和火车的长度.
分析：可以通过画图来说明火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间的数量关系.
例3
设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m.
x - y=40×20
x+y=40×30
火车用时30s
火车用时20s
典例精析
设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m.
x - y=40×20
x+y=40×30
解：“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用下图表示.
根据题意，得
解这个方程组，得
所以，隧道和火车的长度分别是1000m和200m.
方法总结
小结：对较复杂的问题可以借助线段图来疏理题中的未知量、已知量以及等量关系，使其条理清楚，将复杂问题转化为简单问题.
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流.
审题
设元
列方程
解方程
检验作答
直接设元、间接设元和设辅助未知数
明确题目中的数量关系
找出等量关系
写出答案
思考·交流
练一练
状状从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路平均速度 60 m/min，下坡路平均速度 80 m/min，上坡路平均速度 40 m/min，则他从家里到学校需 10 min，从学校到家里需 15 min.问状状家离学校多远
平路：60m/min
下坡路：80m/min
上坡路：40m/min
方法一：直接设元法
解：设状状家到学校平路长 x m，坡路长 y m.
平路时间 坡路时间 总时间
上学
放学
平路：60m/min
下坡路：80m/min
上坡路：40m/min
10
15
解方程组，得
所以，状状家到学校的距离为700米.
根据题意，可列方程组：
方法二：间接设元法
解：设状状下坡路所花时间为x min，
上坡路所花时间为y min.
平路距离 坡路距离
上学
放学
平路：60m/min
下坡路：80m/min
上坡路：40m/min
60(10 - x)
60(15 - y)
解方程组，得
故平路距离：60×（10 - 5）= 300(米)
80x
40y
根据题意，可列方程组：
坡路距离：80×5 = 400（米）
所以，状状家到学校的距离为700米.
回顾·反思
回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认识？积累了哪些经验？
随堂演练
1.如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为2.4m，则每一块长方形墙砖的面积为（ ）
A. 0.36 m
B. 0.9 m
C. 0.4 m
D. 2.4 m
A
2. 在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，求图中大长方形 ABCD 的面积.
解：设小长方形的长为 x cm，宽为 y cm.
解这个方程组，得
所以AB=2×2+6=10（cm）.
根据题意，得
所以，大长方形ABCD的面积为BC·AB=14×10=140（cm2）.
3. 由甲地到乙地的公路全程为200km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路.已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是60km/h和100km/h，从甲地到乙地用时3h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？
【选自教材P125 随堂练习】
解：设汽车在普通公路上行驶了x km，在高速公路上行驶了y km.
解这个方程组，得
所以，汽车在普通公路上行驶了150 km，
在高速公路上行驶了50 km.
根据题意，得
1.在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为x cm，y cm，则下列方程组正确的是(　　)
A.　　
B.
C.　　
D.
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A
知识点1 几何图形问题
2. 古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯(sǔn mǎo)结构就是其中最为华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示.当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为17 cm，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为50 cm，如图②所示，则图①中的木构件长度为　　　　.
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6 cm
【点拨】设题图①中，去掉凸起部分的木构件长度为x cm，凸起部分的长度为y cm，由题意得解得所以题图①中的木构件长度为5.5＋0.5＝6(cm).
知识点2 行程问题
3.滨德高速是连通滨州德州的重要路线，全长约144 km.一辆小汽车、一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇，……设小汽车和货车的速度分别为x km/h，y km/h.可以列出方程组为则“……”处省略的条件为(　　)
A.相遇时货车比小汽车多行12 km
B.相遇45分钟后货车比小汽车多行12 km
C.相遇时小汽车比货车多行12 km
D.相遇45分钟后小汽车比货车多行12 km
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C
4. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1 000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为　　　　里/分钟.
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50
5.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需5秒.若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是　　 　　，动车组的速度是　　　　　　.
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90千米/时
180千米/时
6.甲、乙两地相距74千米，途中有上坡路、平路和下坡路.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡路每小时行驶40千米，则甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路、下坡路分别是　　　　　　　　　　　　.
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30千米、16千米、28千米
7. ［2026武汉江岸区期中］如图，从A至B，步行走粗线道A－D－B需要35分钟，坐车走曲细线道A－C－D－E－B需要22.5分钟，
D－E－B车行驶的路程是D至B步行路程的3倍，A－C－D车行驶的路程是A至D步行路程的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至D步行，再从D－E－B坐车所需要的总时间是　　　　分钟.
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25
课堂小结
实际问题
二元一次方程组
抽象建模
检验求解
要抓住关键的词语，挖掘各类问题中的基本数量关系.
关键词语
复杂问题借助图形或表格分析
列表或画图

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