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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.6.1.4方差的应用第6章数据的分析北师大版八年级上册6.1.4方差的应用练习题核心知识点回顾方差的核心应用是判断数据的稳定性，是统计实际应用的重要考点。核心规律：在两组数据平均数相同或相近的前提下，方差越小，数据波动越小、整体越稳定；方差越大，数据波动越大、起伏越明显。常应用于成绩对比、产品质量检测、运动员选拔、数据稳定性分析等场景。解题关键：先算平均数，再求方差，最后结合数值大小分析稳定性，根据实际需求做出合理选择与判断。一、基础夯实题1.甲乙两组测试成绩平均数相同，甲方差0.8，乙方差1.5，判断哪组成绩更稳定。2.已知一组数据方差为0，判断这组数据的特点。3.判断：平均数不同时，也可直接通过方差比较数据稳定性。二、能力提升题1.甲、乙两名同学五次数学成绩：甲：90、88、92、90、90；乙：85、95、90、88、92。计算方差并判断谁的成绩更稳定。2.两台机床生产零件，尺寸标准均值一致，机床A方差0.02，机床B方差0.05，判断哪台机床生产质量更好。三、综合应用题校篮球队需选拔一名罚球稳定的队员参赛，甲、乙两名队员10次罚球命中次数：甲：7、8、7、9、7、8、8、7、9、8；乙：6、8、9、7、10、8、7、9、8、8。两人平均命中次数相同，请计算方差，结合稳定性选出合适队员。参考答案与解析一、基础夯实1.平均数相同，0.8＜1.5，甲组成绩更稳定。2.方差为0说明每个数据与平均数的差均为0，整组数据完全相同，无波动。3.错误。只有平均数相同或相近时，方差对比稳定性才有意义，平均数差距大时无法直接比较。二、能力提升1.甲乙平均数均为90，甲方差$$s^2_甲=1.6$$，乙方差$$s^2_乙=8.8$$。$$s^2_甲<s^2_乙$$，甲同学成绩更稳定。2. A机床方差更小，数据波动小，零件尺寸更标准，机床A生产质量更好。三、综合应用甲乙平均命中次数均为8次。甲方差：$$s^2_甲=0.4$$，乙方差：$$s^2_乙=1.2$$。甲方差更小，罚球发挥更稳定。结论：选拔甲队员参赛。易错点总结1.忽略“平均数相近”前提，盲目用方差判断稳定性；2.混淆方差大小与稳定性的关系，记错“方差小更稳定”的规律；3.实际应用只计算不分析，缺少结合题意的判断结论；4.多组数据计算时，平均数、平方差计算失误导致结果偏差。巩固标准差和方差的概念，掌握方差的求解方法.
从实际案例中学会借助方差来求解常见的实际问题.
在解决数据分析类问题的过程中，培养严谨的数学思维和处理问题的能力.
新知探索
某日，A，B 两地的气温如图所示.
（1）不进行计算，说说 A，B 两地这一天气温的特点.
A 地的日温差较大，B 地的日温差较小。
A 地的平均气温约为 20.42℃，方差约为 7.76；
B 地的平均气温约为 21.35℃，方差约为 2.78.
（2）分别计算这一天 A，B 两地气温的平均数和方差，所得结果与你刚才的看法一致吗？
某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.
在最近的 10 次选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下.
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624
我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好？
尝试·思考
（1）甲、乙的平均成绩分别是多少？
甲的平均成绩是 601.6 cm，
乙的平均成绩是 599.3 cm；
某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.
在最近的 10 次选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下.
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624
（2）甲、乙这 10 次选拔赛成绩的方差分别是多少？
甲的方差是 65.84，乙的方差是 284.21；
（3）这两名运动员的选拔赛成绩各有什么特点？
从平均成绩看，甲的成绩要高一点；
从方差来看，甲的成绩要稳定一些；
乙最远成绩比甲最远成绩好，乙较有潜质.
（4）历届比赛表明，成绩达到 5.96 m 就很可能夺冠， 你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
为了夺冠应选甲去.
如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m 就能打破记录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢？
为了打破纪录应选乙去.
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624
10 个苹果的直径如图所示.
（1）若想把这 10 个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由.
思考·交流
10 个苹果的直径如图所示.
（2）一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？与同伴进行交流.
思考·交流
在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”.
多组数据的组内离差平方和：每组数据的离差平方和的和.
典例精析
例3 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把下图中的 10 个苹果按直径大小分成两组.
解：将 10 个数据由小到大排序：65,69,70,75,76,76,78,80,80,81.
把 10 个数据分成两组，共有 9 种情况：
第一组 1 个数据 {65} ，第二组 9 个数据 {69，···，81}；
第一组 2 个数据 {65，69}，第二组 8 个数据 {70，···，81}；······；
第一组 9 个数据 {65，···，80}，第二组 1 个数据 {81}.
以第 2 种分组情况为例，计算组内离差平方和. 其中，第一组有 2个数据 {65，69}，这 2 个数据的平均数是 67，故第一组数据的组内离差平方和=(65-67)2+(69-67)2=8；第二组有 8 个数据 {70，75，76，76，78，80，80，81}，这 8 个数据的平均数是 77，故第二组数据的组内离差平方和=(70-77)2+(75-77)2+···+(81-77)2=90.
因此，第 2 种分组情况的组内离差平方和==8+90=98.
同理，计算其他 8 种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
分组情况 组内离差平方和
第一组 1 个，第二组 9 个 146.889
第一组 2 个，第二组 8 个 98
第一组 3 个，第二组 7 个 48
第一组 4 个，第二组 6 个 74.25
第一组 5 个，第二组 5 个 98
第一组 6 个，第二组 4 个 107.583
第一组 7 个，第二组 3 个 136.095
第一组 8 个，第二组 2 个 182.375
第一组 9 个，第二组 1 个 218
计算结果表明，第 3 种情况的组内离差平方和最小. 因此，把 10 个苹果按直径大小分成的两组是 {65，69，70}， {75，76，76，78，80，80，81}.
知识点1 方差的应用
1.［2025泸州］某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(　　)
A.甲　　 B.乙　　
C.丙　　 D.丁
返回
甲 乙 丙 丁
平均数/个 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
B
2.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是
20 m，方差是.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则　(“＞”“＝”或“＜”).
返回
＞
知识点2 数据的分组
3.将数据分为两组时，组内离差平方和越小，说明(　　)
A.两组数据的平均数差距越大　
B.每组数据内部越集中
C.数据的总数越少　
D.中位数越均数
返回
B
4.［2026郑州期中］把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是(　　)
A.{2}，{4，8，10，12}　　　
B.{2，4}，{8，10，12}
C.{2，4，8}，{10，12}　　　
D.{2，4，8，10}，{12}
返回
B
5.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差　　　.(填“变小”“不变”或“变大”)
返回
工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7 000
木工 4 6 000
瓦工 5 5 000
变大
【点拨】因为减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，所以这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大.
返回
工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7 000
木工 4 6 000
瓦工 5 5 000
课堂小结
方差越小表示这组数据越稳定，但不是方差越小就表示这组数据越好，而是对具体的情况进行具体分析才能得出正确的结论。

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