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北师大版数学八年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.7.2.2定理与证明第7章命题与证明北师大版八年级上册7.2.2定理与证明练习题一、核心知识点回顾1.基本事实（公理）：经过长期实践总结、被大家公认的真命题，无需证明，可直接作为推理依据。2.定理：经过推理证实的真命题，定理可以作为进一步推理、证明其他命题的依据。3.证明：从已知条件出发，依据定义、公理、定理，通过严谨的逻辑推理，判断命题真假的过程。证明过程要求步步有据、逻辑严谨、书写规范。4.核心区分：公理无需证明，定理必须证明；真命题包含公理和定理，假命题只需举反例推翻。二、基础夯实题1.填空：无需证明、公认正确的真命题叫做______；经过推理证实的真命题叫做______。2.判断正误：（1）所有真命题都是定理；（2）公理可以直接作为证明的依据。3.写出一个课本中的基本事实（公理）和一个定理。三、能力提升题1.简述命题、公理、定理三者之间的关系。2.完整证明命题：对顶角相等。（要求写出已知、求证、证明过程）四、综合应用题已知：如图，∠1+∠2=180°，求证：a∥b。请依据所学公理和定理，完成完整规范的证明过程，标注每一步推理依据。五、参考答案与解析一、基础夯实1.公理（基本事实）；定理。2.（1）错误，真命题不一定是定理，只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理；（2）正确。3.示例：公理：两点确定一条直线；定理：同角的余角相等。二、能力提升1.命题是可判断真假的语句；真命题包含公理和定理；公理是无需证明的原始真命题，定理是由公理、定义推导证明出的真命题，二者均可作为推理依据。2.已知：直线AB、CD相交于点O。求证：∠AOC=∠BOD。证明：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD=180°（平角定义），∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）。三、综合应用证明：∵∠1与∠3互为对顶角（对顶角定义），∴∠1=∠3（对顶角相等）。又∵∠1+∠2=180°（已知），∴∠3+∠2=180°（等量代换）。∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。六、本节易错总结1.混淆公理与定理：公理无需证明，定理必须经过推理证明；2.认为所有真命题都是定理，概念理解偏差；3.证明过程无依据、跳步推理、逻辑混乱；4.书写不规范，缺少已知、求证、推理依据，步骤不完整。了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题。
了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。
通过书写完整的证明过程培养逻辑思维能力和体验证明的方式方法
复习导入
1.你上课认真听讲了吗？
2.同位角相等；
3.同角的补角相等；
4.作线段AB的中垂线；
5.如果a2＞b2，那么a＞b；
6.对顶角相等.
判断下面句子哪些是命题，哪些是真命题，哪些是假命题？
不是命题
假命题
真命题
不是命题
假命题
真命题
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？
自学指导
认真阅读课本P186的内容，6分钟内完成：
1.归纳公理、证明、定理的定义.
2.学习过的八条基本事实有哪些？
3.如何证明对顶角相等？
要求：动脑思考，动手标记课本中的重点和疑点.
新知探究
知识点一
公理、证明、定理的定义
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古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名为《原本》. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据.
1.原名：
2.公理：
3.证明：
4.定理：
某些数学名词称为原名.
公认的真命题称为公理.
演绎推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
不需要证明 公理=基本事实
除了公理外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.
九条基本事实（公理）
1.两点确定一条直线.（直线公理）
A
B
2.两点之间线段最短.（线段公理）
A
B
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
P
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行).
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
P
l1
l2
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）
8.三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）
另外一条将在后面的学习中认识.
等式和不等式的有关性质都可以作为证明的依据.
在等式中，一个量可以用它相等的量来代替.
数与式的运算律和运算法则都可以作为证明的依据.
例如，如果 a=b，b=c ，那么 a=c ， “等量代换”.
如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c，“不等式的传递性”.
其他哪些还可以作为公理？
总结归纳
一些条件
定理、公理
推理
证实其他命题的正确性
演绎推理的过程叫作证明
经过证明的真命题叫作定理
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系:
（1）联系:这四者都是命题.
（2）区别:定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
知识点二
证明的过程
请你用基本事实（公理），证明我们探索过的定理.
定理：同角（或等角）的补角相等.
定理：同角（或等角）的余角相等.
定理：三角形的任意两边之和大于第三边.
符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”.
定理：同角（或等角）的补角相等.
（1）已知：∠B和∠C是∠A的补角，求证：∠B=∠C.
证明：∵∠B和∠C是∠A的补角，
∴∠B=180°-∠A，
∠C=180°-∠A，
∴∠B=∠C（等量代换），
∴同角的补角相等.
（2）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠C和∠D分别是∠A、
∠B的补角，
∴∠C=180°-∠A，
∠D=180°-∠B，
∵∠A=∠B（已知），
∴∠C=∠D（等量代换），
∴等角的补角相等.
（3）已知：∠B和∠C是∠A的余角，求证：∠B=∠C.
证明：∵∠B和∠C是∠A的余角，
∴∠B=90°-∠A，
∠C=90°-∠A，
∴∠B=∠C（等量代换），
∴同角的余角相等.
（4）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠C和∠D分别是∠A、
∠B的余角，
∴∠C=90°-∠A，
∠D=90°-∠B，
∵∠A=∠B（已知），
∴∠C=∠D（等量代换），
∴等角的余角相等.
定理：同角（或等角）的余角相等.
例 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证： ∠AOC =∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴ ∠AOB与∠COD都是平角（平角的定义）.
∴ ∠AOC与∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）.
∴ ∠AOC =∠BOD （同角的补角相等）.
A
C
O
D
B
定理 对顶角相等.
【练一练】
1. 请证明定理“三角形的任意两边之和大于第三边”.
已知：如图，三角形ABC.
求证：AB+BC >AC，AB+AC >BC，BC+AC >AB.
证明：
∵ AC 是以点 A、点 C 为端点的线段，
所以 AB + BC >AC.(两点之间线段最短)
同理可得 AB+AC >BC，BC+AC >AB.
A
B
C
知识点1 公理与定理
1.下列关于公理和定理的说法正确的是(　　)
A.公理是真命题，但定理不是
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理和定理都应经过证明后才能使用
返回
C
2.“过平面上两点，有且只有一条直线”属于(　　)
A.定义　　 B.定理
C.公理　　 D.以上都不对
返回
C
知识点2 证明
3.试证明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题.以下是打乱顺序的推理过程：①因为∠A＝∠C(已知)；②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)；③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)；④所以∠B＝∠D(等量代换)；⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换).则正确的顺序是(　　)
A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④
返回
C
4.如图，点D是△ABC外一点，连接BD，AD，AD与BC交于点O.给出下列三个等式：①BC＝AD，②∠ABC＝∠BAD，③AC＝BD.请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明.
已知：　　，　　.
求证：　　.
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①
②
③
(答案不唯一)
证明如下：
在△ABC和△BAD中，
所以△ABC≌△BAD(SAS)，所以AC＝BD.
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5.有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②两直线平行，同旁内角互补；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中是定理的有(　　)
A.0个　　 B.1个　　
C.2个　　 D.3个
返回
B
6.求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.(解题要求：补全已知、求证，写出证明)
已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，　 　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
求证：　　　　.
返回










分别过点B，
C作AD的垂线，交AD的延长线和AD于点P，E
BP＝CE
证明：由题意可得∠CED＝∠BPD＝90°，
因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD.
在△BDP和△CDE中，
所以△BDP≌△CDE(AAS)，所以BP＝CE.
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课堂小结
定理与证明
定义
定理
公理
证明
作出明确规定的名词术语的含义
公认的真命题
演绎推理的过程
经过证明的真命题

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