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26.2.2 二次函数 y = a(x h)2 + k 的图象和性质
第 2 课时 二次函数 y = a(x h)2 的图象和性质
第二十六章 二次函数
新课导入
y = ax2
y = ax2 + k
上下平移
想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移后会得到新的抛物线吗？
知识点1： 二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的图象和性质
探究新知
探究1：从函数解析式研究图象和性质.
x 的取值范围 y 的取值范围 当 x 取多少时，
y 有最值
全体实数
y≤0
全体实数
y≤0
x = 1 时，y 有最大值
x = -1 时，y 有最大值
操作与思考：画出二次函数 的图象.
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
2
4.5
2
0
0
2
2
4.5
8
8
解：列表如下：
探究2：用“描点法”法作图
例1 画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
描点、连线，如图所示：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线 x = -1
( 1，0)
直线 x = 1
向下
(1，0)
想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 (a＜0)的图象特征和性质是什么？
(1) 顶点都是最____点，函数都
有最____值，都为_______；
(2) 函数的增减性：
根据图象回答下列问题:
做一做
高
大
y = 0
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大
当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小
当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大
-2
2
-2
-4
4
-4
O
x
y
归纳总结
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，0)
(h，0)
当 x = h 时，y最小值 = 0
当 x = h 时，y最大值 = 0
当 x＜h 时，y 随 x 的
增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x＜h 时，y 随 x 的
增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小.
例3 已知二次函数 y＝ (x﹣1)2．
(1) 画出图象，并写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
(2) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？
解：对称轴为直线 x = 1.
顶点坐标为 (1，0).
解：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大.
O
-1
2
2
4
4
-2
x
y
3
1
(3) 若 3≤x≤5，求 y 的取值范围；
想一想：若 1≤x≤5，y 的取值范围是什么？
解：∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x = 3 时，y = 2；当 x = 5 时，y = 8，
∵当 1≤x≤5 时，y 的最小值为 0，
∴当 1≤x≤5时，y 的取值范围是
0≤y≤8.
注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值
∴当 3≤x≤5 时，y 的取值范围是 2≤y≤8.
O
-1
2
2
4
4
x
y
3
1
(4) 若抛物线上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2＜1，
试比较 y1 与 y2 的大小．
解：∵ m＞1，∴ 1＜m＜m + 1.
变式：若点 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在抛物线的图象上，且 m＞1，试比较 y1，y2 的大小，并说明理由．
解：∵ 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x1＜x2＜1 时，y1＞y2.
∵ 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ y1＜y2.
O
-1
2
2
4
4
x
y
知识点2 二次函数y=ax2与y=a(x - h)2(a≠0)的图象的关系
想一想 抛物线 y = 2(x + 1)2，
y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2
有什么样的关系？
形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.
(1，2 )
(2，8 )
y = 2x2
从平移后对应点的坐标的角度探究
(1，8 )
(2，8 )
(0，2 )
类似地，可以说下抛物线 y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 的关系.
(1，2 )
横坐标减 1
(1，8 )
(0，2 )
y=2(x+1)2
向左平移 1 个单位长度
y = 2(x + 1)2
y = 2x2
y = 2(x + 1)2
y = 2(x - 1)2
y = 2(x + 1)2
y = 2(x - 1)2
y = 2x2
向右平移
1 个单位
向左平移
1 个单位
向 x 轴正方向平移
向 x 轴负方向平移
从形的角度探究
y = 2x2
链接中考
1. 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　)
A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度
C. 向左平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 1 个单位长度
C
当堂小结
探索 y =a(x±h)2的图象及性质
开口方向及增减性
对称轴
直线 x = h
(h，0)
a > 0，开口向上
a < 0，开口向下
a 的符号和 h 的值决定增减性
y = ax2
左右平移
h 个单位
顶点坐标
平移规律：
自变量
左加右减，
括号外
保持不变.
当堂练习
1. 指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线 x = 3
(3，0)
直线 x = 2
直线 x = 1
向下
向上
(2，0)
(1，0)
4. 若 (- ，y1)，(- ，y2)，( ，y3) 为二次函数 y = (x - 2)2 图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的大小关系为_____________.
2. 如果二次函数 y＝a(x﹣1)2 (a≠0) 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是______．
a＞0
3. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是 .
y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2
y1 ＞y2 ＞ y3
5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x - 2)2 的图象，并指出两个图象之间的平移关系．
解：图象如图.
函数 y = 2(x - 2)2 的图象可由函数 y = 2x2 的图象向右平移 2 个单位长度得到.
y = 2x2
2

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