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26.2.3 二次函数 y = ax2 + bx + c 的
图象和性质
第 1 课时 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
第二十六章 二次函数
新课导入
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0，0)
y 轴
0
(0，-5)
y 轴
-5
(-2，0)
直线 x = -2
0
(-2，-4)
直线 x = -2
-4
(4，3)
直线 x = 4
3






知识点1：将 y = ax2 + bx + c 化成 y = a(x h)2 + k
探究新知
(1) x2 12x + 36 = (x____)2；
填一填
(2) x2 12x = (x____)2 ____.
6
36
6
合作探究
问题 怎样将 化成 y = a(x h)2 + k 的形式？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
想一想：配方的方法及步骤是什么？
提示：配方后的解析式通常称为顶点式.
我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x - h)2 + k？
y = ax + bx + c
归纳总结
因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是
对称轴是直线
，
.
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的顶点式
y = ax2 + bx + c =
练一练
1. 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式
y = a(x - h)2 + k 的形式，并指出其顶点坐标．
(1) y = x2 - 2x + 1；
(2) y = 2x2 - 4x + 6．
解：(1) y = x2 2x + 1 = (x 1)2，顶点坐标为 (1，0).
(2) y = 2x2 4x + 6 = 2(x 1)2 + 4，顶点坐标为 (1，4).
知识点2：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
我们已经知道二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来研究 的图象和性质？
将 配成顶点式，得
探究1：从函数解析式研究图象和性质.
答：开口向上，对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3).
答：平移方法1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到；
平移方法2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到.
(1) 你能说出 的开口方向，对称轴及
顶点坐标吗？
(2) 抛物线 可以看作是由 怎样
平移得到的？
探究2：用“描点法”法作图研究图象性质
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解：先利用图形的对称性列表；
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象
如右图.
O
5
10
x
y
5
10
x = 6
当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
问题 结合二次函数 的图象，说出其增减性.
如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；
当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小.
如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大.
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
归纳总结
典例精析
例1 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5．
(1) 将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式；
(2) 求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
(3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
(3) ∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3，
∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小．
解：(1) y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4.
(2) 二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，-4).
当堂小结
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
当堂练习
1. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中 x、y 的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y 轴 B. 直线 x =
C. 直线 x = 2 D. 直线 x =
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
O
y
x
–1
–2
3
2. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
(1) a、b 同号；
(2) 当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相等；
(3) 4a + b = 0；
(4) 当 y = -2 时，x 的值只能取 0.
其中正确的是 .
x = 1
（2）
3. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13.
(1) 当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？
(2) 当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
(3) 将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式.
解：∵ y = 2x2 12x + 13 = 2(x 3)2 5，
∴抛物线开口向上，顶点为(3， 5)，对称轴为直线x = 3.
(1) 当 x = 3 时，y 有最小值，最小值为 5.
(2) 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小.
(3) 新抛物线的解析式为 y = 2(x 5)2 3．

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