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26.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形的最大面积
第二十六章 二次函数
情境导入
将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？
知识点1： 求二次函数的最大（或最小）值
探究新知
例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h (单位：m) 与起跳后的时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = -4.9t2 + 2.8t + 11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位)
分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题.
解：对于二次函数h = -4.9t2+2.8t+11，当
时，h 有最大值
因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其
重心达到最高点，最大高度为 11.4 m.
h= -4.9t2+2.8t+11
想一想
思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
最小值
最大值
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
x
y
O
x
y
O
思考2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数
y = ax2 + bx + c 的最值是多少？
思考3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.
例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
知识点2： 二次函数与几何图形面积的最值
分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为 x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题.
20 - 2x
x
x
解：设垂直于墙的一边长为 x m，
则平行于墙的边长为 (20 2x) m，
矩形菜园的面积 S = x(20 2x)，
即 S = 2x2 + 20x (0＜x＜10).
因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 m .
当
时，S 有最大值
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式
求它的最大值或最小值；
3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，
然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的
范围求函数最值.
例3 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
x
解：设矩形窗框的宽为 x m，
则高为 m. 由于
这里应有 x＞0，故 0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是
链接中考
即
配方得
所以，当 x = 1 时，函数取得最大值，y最大值 = 1.5.
这时
因此，所做矩形窗框的宽为 1 m、高为 1.5 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m2.
当堂小结
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定
1. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度 y 米关于水珠和喷头的水平距离 x 米的函数解析式是 (0≤x≤4)，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是( )
A. 1 米 B. 2 米 C. 5 米 D. 6 米
当堂练习
B
2. 已知直角三角形的两直角边之和为 8，则该三角形
的面积的最大值是______.
8
3. 某小区要在一块空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙 (墙长 25 m)，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住．设绿化带的边长 BD 为 x m，绿化带的面积为 y m2．
(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
解：∵ BD = x m，
A
B
C
D
(2) 当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
∵ 0＜x≤25，
∴ 当 x = 20 时，绿化带的面积取得最大值，最大面积为 200 m2.

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