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26.3 实际问题与二次函数
第 2 课时 商品利润最大问题
第二十六章 二次函数
复习导入
思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
最小值
最大值
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
x
y
O
x
y
O
知识点1：利用二次函数解决商品利润最大问题
探究新知
例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价 1 元，则每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况.
（1）设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化，我们先来确定 у 随 х 变化的函数解析式.
每件涨价 x 元时，每星期要少卖 10x 件，实际卖出(300－10x) 件，销售额为 (60＋x)(300－10x) 元，买进商品需付 40(300－10x) 元，因此，所得利润
y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，
即 y＝－10x ＋100x＋6 000，
其中，0≤x≤30，x 为整数.
根据上面的函数，填空：
当 х＝ 时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元.
5
5
65
6250
y＝－10x ＋100x＋6 000，
其中，0≤x≤30，x 为整数.
解：设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则单件利润为 20 x 元，每星期可卖出 300 + 20x 元.
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
降价销售
20
300
(20 x)
(300 + 20x)
(20 x)(300 + 20x)
所得利润 y = (20 x)(300 + 20x)
= 20x2 + 100x + 6000.
6000
降价销售
想一想，每一步应该怎么做？
∵ 20 x≥0，且 x≥0，∴ 0≤x≤20.
y = 20x2 + 100x + 6000
y = 20x2 + 100x + 6000
对称轴为
综上可知，定价为 65 元时，才有最大利润是 6250 元.
即每件降价 2.5 元时，利润最大，最大利润是 6125 元.
∵ 0＜ ＜20， 20＜0，
归纳总结
求解最大利润问题的一般步骤
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润 = 单件利润×总销量”
或“总利润 = 总售价 - 总成本”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；
也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
链接中考
1. 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售 卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克.
(1) 求 y 与 x 的函数关系式.
(2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大.
解：(1) 由题意可得，
(2) 由题意可得，
w = y(x 8) = ( 4x + 108)(x 8)
= 4x2 + 140x 864
∴当 时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
答：当 时，利润最大.
例2 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量
y (千克)与销售单价 x (元/千克)
的函数关系如图所示：
典例精析
(1) 求 y 与 x 的函数解析式；
(2) 求这一天销售西瓜获得的利润
W 的最大值.
O
6
200
1000
8
x
y
10
12
分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式；
解：(1) 当 6≤x≤10，设 y 与 x 的关系式为
y = kx + b (k≠0)
由题意得
6k + b = 1000，
10k + b = 200，
｛
k = -200，
b = 2200.
｛
解得
∴ y = -200x + 2200.
当 10≤x≤12，y = 200
故 y 与 x 的函数解析式为
y =
-200x + 2200 (6≤x≤10)
200 (10＜x≤12)
｛
O
6
200
1000
8
x
y
10
12
分析：根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量，列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值.
(2) 由已知得： W = (x - 6)y
当 6≤x≤10，W = (x - 6)y = (x - 6)(-200x + 2200)
= -200x2 + 3400x - 13200
又∵ -200＜0，
∴当 时，利润 w 有最大值.
∵对称轴
当 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200.
∵ k = 200＞0，∴ W 随 x 的增大而增大.
∴ x = 12 时， W 有最大值.
W最大值 = 200×12 - 1200 =1200.
综上所述，当销售价格为 8.5 元时，取得最大利润，
最大利润为 1250 元.
当堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润 = 单利润×总销量
总利润 = 总售价-总成本
确定自变量的取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出
当堂练习
1.某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可卖出 (600－20x) 件，为使利润最大，则每件售价应定为 元.
25
2. 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次. 第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元. 产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件. 如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
解：设生产第x 档次的产品时，每天所获得的利润为 w 元，
则
w = [12 + 2(x－1)][80－4(x－1)]
= (10 + 2x)(84－4x)
= －8x2 + 128x + 840
= －8(x－8)2 + 1352.
因为 x ≤ 9，故当 x = 8 时，w 有最大值，且 w最大 = 1352.
答：该工艺师生产第 8 档次产品，可使利润最大，最大利润为 1352 元.
3. 某种商品每天的销售利润 y (元)与销售单价 x (元)之间满足关系：y = ax2 + bx - 75. 其图象如图.
(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由题中条件可求 y = -x2 + 20x - 75
∵-1 < 0，对称轴 x = 10，
∴当 x = 10 时，y 值最大，最大值为 25.
即销售单价定为 10 元时，销售利润最
大，为 25 元.
7
x/元
y/元
5
16
O
(2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？
解：由对称性知 y = 16 时，x = 7 或 13.
故销售单价在 7≤x≤13 时，利润不低于 16 元.

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