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第二十六章 二次函数
26.4 实际问题与二次函数
第 3 课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
新课导入
生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等．
生活中还有哪些抛物线型轨迹呢？
怎样将轨迹表示出来解决相关问题呢？
知识点1： 利用二次函数解决抛物线形实物问题
探究新知
引例 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m时，水面宽 10 m. 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少？
分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题. 为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系.
设这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax .
由抛物线经过点(5，－4)，可得 －4＝a×5 .
解得 a＝－.
因此，这条抛物线对应的二次函数为 y＝－ x
问题 水面上升 1 m，水面宽度增加多少？
即水面上升 1 m 时，水面宽度增加了 .
这条抛物线表示的二次函数为
y＝－x
当水面上升 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 －3＝－x ，解得 x＝x＝－ .
归纳总结
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
解：建立如图直角坐标系，
设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax2.
∵ 该抛物线过点 (10， 4)，
∴ 4 = 100a，故 a = 0.04.
∴ y = 0.04x2.
练一练
1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
20 m
y
O
A
B
x
知识点2： 利用二次函数解决抛物线形运动轨迹问题
例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
分析：建立合适的直角坐标系，
利用二次函数的图象和性质求解.
解：建立平面直角坐标系如图.
则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)，
篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5).
以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a = －0.2，
k = 3.5.
设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = ax2 + k. 而点 A，B 在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的解析式为 y =－0.2x2 + 3.5.
当 x = －2.5 时，y = 2.25 .
故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m.
1.52·a + k = 3.05，
k = 3.5.
x
y
O
2. 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
练一练
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意，得 A 点坐标的为 (0，1.25)，
顶点 B 的坐标为 (1，2.25).
数学化
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，
才能使喷出的水流不致落到池外.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0).
设右边抛物线的解析式为 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入点 A 的坐标，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25.
O
●
C
●
D
x
y
A
● B (1，2.25)
(0，1.25)
●
当堂小结
转化
回归
拱桥问题
抛物线形运动轨迹问题
（抛物线形实物与轨迹问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键
当堂练习
1. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h (m) 可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t (s) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地.
4
2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度
y (米)关于水平距离 x (米)的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面
的距离为 米.
x
y
O
2
3. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为 0.5 m.
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，
故可设其对应的函数解析式为 y = ax2 + 0.5.
又抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得
81.5 = a 4502 + 0.5. 解得
故所求函数解析式为
(1) 若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数解析式；
y
x
O
-450
450
81.5
(2) 计算距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长.
解：当 x = 450－100 = 350 时，得
当 x = 450－50 = 400 时，得
即距离桥两端主塔分别为 100 m，
50 m 处垂直钢索的长分别为 49.5 m、64.5 m.
y
x
O
-450
450
81.5

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