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第1课时 菱形的性质
第一章 特殊平行四边形
1.2 菱形的性质与判定
问题1：我们之前学行四边形，它有哪些共同性质？
邻边相等的平行四边形叫作菱形.
问题2：如果给平行四边形加一个条件“邻边相等”，会得到什么特殊图形？
对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？
【想一想】
（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流.
边 角 对角线 对称性
菱形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
中心对称
菱形的性质
1
动手操作
度量法
剪拼法
A
B
C
D
A
B
C
O
D
( C )
O
8 cm
8 cm
( B )
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形是轴对称图形
求证：(1) AB = BC = CD = AD；
(2) AC⊥BD.
证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等).
又∵ AB = AD，
∴ AB = BC = CD = AD.
A
B
C
O
D
已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
证一证
(2) ∵ AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，
∵OB = OD，
∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD.
A
B
C
O
D
知识要点
菱形的性质
定理 菱形的对角线互相垂直.
A
B
C
O
D
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD.
定理 菱形的四条边都相等.
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠BAD = 60°，BD = 6.
(1) 求 AB 和 AC 的长.
(2) 求菱形 ABCD 的面积.
∴ AB = AD(菱形的四条边相等)，
AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直)，
OB = OD = BD = =3 (菱形的对角线互相平分).
解：(1) ∵四边形 ABCD 是菱形，
A
B
C
O
D
典例精析
在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD = 60°，
∴△ABD 是等边三角形.
∴ AB = BD = 6.
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴OA= .
∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
(2) 求菱形 ABCD 的面积.
菱形 ABCD 的面积
= △ABD 的面积 +△CBD 的面积
= 2×△ABD 的面积
= 2×BD·OA
= 2××6×3
= 18.
1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则
△ABD 的周长是 (　　)
A.10 B.12
C.15 D.20
C
2. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______.
6 cm
练一练
菱形
菱形的性质
有关计算
边
周长 = 边长的四倍
角
对角线
1. 两组对边分别平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ）
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
C
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则△ABD 的周长等于 （ ）
A. 18 B. 16
C. 15 D. 14
B
3. 根据下图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，
那么它的边长是 ______.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，
则∠BAC＝_____°.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，
则菱形的边长是_______.
（4）菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角
线长为 11 cm，菱形的周长为________.
3 cm
30
A
B
C
O
D
5 cm
44 cm
4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE．
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ CB = CD， CA 平分∠BCD．
∴∠BCE =∠DCE．
又 CE = CE，
∴△BCE≌△DCE (SAS)．
∴∠CBE =∠CDE．
∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E

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