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1.3 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
第一章 特殊平行四边形
根据四边形的不稳定性，观察在平行四边形的变化过程中，当有一个角是直角时，会产生什么特殊的平行四边形？
边 角 对角线 对称性
矩形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
中心对称
(1) 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？
想一想
矩形的性质
1
(2) 你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC.
∴∠B +∠C = 180°.
又∵∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
A
B
C
D
证一证
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°.
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴ AC = DB.
A
B
C
D
O
(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
知识要点
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD.
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°.
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
A
B
C
D
O
典例精析
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于
点 O，下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
练一练
直角三角形斜边上的中线的性质
A 　
B 　
C 　
D 　
E 　
活动3：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E.
B
C
E
A
问题 BE 是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
由此你能得到怎样的结论
2
证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE，
连接 AD，CD.
∵AE = EC，BE = ED，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD.
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC.
∴ BE = BD = AC.
E
C
B
A
D
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.
(1) 若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；
(2) 若∠C = 30°，AB = 5 cm，则 AC =_____cm，
BD = _____cm.
A
B
C
D
6
10
5
练一练
矩形性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( )
A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定
3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
A
C
C
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm．
2.5
5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为 AB 中点，若 DE = 5，AE = 8，则 BE 的长为______．
6
第4题图
第5题图
6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
（1）求证：BD = BE；
（2）若∠DBC = 30°，BO = 4，求四边形 ABED 的面积.
A
B
C
D
O
E
(1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，AB∥CD.
又∵ BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴ AC = BE.
∴ BD = BE.
(2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4，
∴ BD = 2BO = 2×4 = 8.
∵∠DBC = 30°，
∴ CD = BD = ×8 = 4，
∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8.
在 Rt△BCD 中，
BC =
∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = .
A
B
C
D
O
E

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