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2.1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1课时 一元二次方程
九年级上册数学（北师版）
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫作方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.
复习导入
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为(8 - 2x) m，宽为 (5 - 2x) m，根据题意，可得方程：
( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .①
一元二次方程的相关概念
1
探究新知
问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：
， ， ， .　
根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x + 1
x + 2
x + 3
x + 4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 6 m.如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙 (x + 6) m，
根据题意，可得方程：
问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑
1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
(x + 6)2 + 72 = 102.
化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③
10 m
8 m
1 m
x m
2x2 - 13x + 11 = 0 ①
x2 - 8x - 20＝0 ②
x2 + 12 x - 15 = 0 ③
1.只含有一个未知数；
2.未知数的最高次数是 2；
3.整式方程．
方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点：
议一议
只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0).
其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
知识要点
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
典例精析
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3 + x2 = 36
(3) x + 3y = 36
(5) x + 1 = 0

×
×
×
×

×
×
(1) x2 + x = 36
注意：未限定 a ≠ 0
例2 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是 2.
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
其中(a ≠ 0)是一元二次方程的前提条件
当堂小结
1. 下列哪些是一元二次方程？
是
不是
是
不是
不是
是
3x + 2 = 5x - 2；
x2 = 0；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
课堂练习
2. 关于 x 的方程 (k2 1)x2 ＋ 2(k 1)x＋2k＋ 2＝0，
当 k 　　时，是一元二次方程．
当 k 　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝ 1
3.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
4. 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x (cm) 应满足的方程（其中 π 取 3）；
解：由挖去的圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得
200 cm
150 cm
2.1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 一元二次方程的解及其估算
九年级上册数学（北师版）
问1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数；
②未知数的最高次数是 2；
③整式方程
问2：一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数， a ≠ 0)
复习导入
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程 (8 - 2x)(5 - 2x) = 18，你能求出这个宽度吗？
(1) x 可能小于 0 吗？说说你的理由．
不能，因为 x 代表宽度，小于 0不符合实际.
一元二次方程解的估算
1
x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？
说说你的理由.
8 - 2x
5 - 2x
不可能，地毯宽度不能小于 0.
探究新知
（3）填写下表：
x 0.5 1 1.5 2
(8 - 2x)(5 - 2x)
（4）你知道地毯花边的宽 x (m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．
4
10
18
28
（2）你能确定 x 的大致范围吗？
8 - 2x＞0，5 - 2x＞0，
解得 x＜4，x＜2.5，
所以 0＜x＜2.5
x = 1
(1) 小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？
(2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？
可能是 3 m 吗？为什么？
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 (x + 6)2 + 72 = 102，也就是
x2 + 12x - 15 = 0.
10 m
8 m
1 m
x m
做一做
12 + 12×1 - 15 = -2
22 + 12×2 - 15 = 13
32 + 12×3 - 15 = 30
10 m
8 m
1 m
x m
(3) 你能猜出滑动距离 x 的大致范围吗？
(4) x 的整数部分是几？十分位是几？
下面是小亮的求解过程：
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 + 12x - 15 - 15 - 8.75 - 2 5.25 13
可知 x 取值的大致范围是：1＜x＜1.5.
进一步计算：
故 1.1＜x＜1.2，因此 x 整数部分是 1，十分位部分是 1．
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76
x ≈ 1.1
你的结果怎样呢？
例1 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必需在距水面 5 m 以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误. 假设运动员起跳后的运动时间 t (s) 和运动员距水面的高度 h (m) 满足关系：h＝10＋2.5t－5t2. 那么他最多有多长时间完成规定动作？
5 ＝ 10＋2.5t－5t2.
2t2－t－2 ＝ 0.
即
解：根据题意得
典例精析
由此看出，可以使 2t2 - t - 2 的值为 0 的 t 的范围是1.2＜t＜1.3 .故可知运动员完成规定动作最多有 1.3 s.
t … 1.1 1.2 1.3 1.4 …
2t2 - t - 2 … …
-0.68 -0.32 0.08 0.52
t … 0 1 2 3 …
2t2 - t - 2 … …
所以 1＜t＜2.进一步列表如下：
-2 -1 4 13
列表如下：
解一元二次方程
（“两边夹”方法）
确定其解的大致范围
列表、计算
进行两边“夹”
……
求得近似解
当堂小结
1. 请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的正数根（精确到 0.1）.
解：（1）列表.依次取 x = 0，1，2，3…
x 0 1 2 3 …
x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 …
课堂练习
由上表可发现，当 2＜x＜3 时，-1＜ x2 - 2x -1 ＜2；
（2）继续列表，依次取 x = 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5…
由表发现，当 2.4＜x＜2.5 时，- 0.04＜x2 - 2x - 1＜0.25；
x 2.2 2.3 2.4 2.5 …
x2 - 2x - 1 - 0.79 - 0.31 - 0.04 0.25 …
（3）取 x = 2.45，则 x2 - 2x - 1 ≈ 0.1025.
∴2.4＜x＜2.45.
∴x ≈ 2.4.
2.根据题意，列出方程，并估算方程的解：
一面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为 x m，则长为(x + 2) m ，根据题意得：
x·(x + 2) = 120.
即 x2 + 2x - 120 = 0.
120 m2
(x + 2) m
x m
根据题意 x 的取值范围大致是 0＜x＜11.
由上可知，x 的取值范围大致是 0＜x＜11.
解方程 x2 + 2x - 120 = 0.
完成下表(在 0＜x＜11这个范围内取值计算，逐步逼近):
x … …
x2 + 2x – 120 … …
8 9 10 11
-40 -21 0 23
所以 x = 10.因此这苗圃的长是 12 米，宽是 10 米.

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