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第二章 一元二次方程
第3课时 用公式法求解一元二次方程
九年级上册数学（北师版）
2.2 一元二次方程的解法(2)
用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
一、移常数项；
二、配方[配上 ]；
三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四、直接开平方法解方程.
复习导入
你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 吗？
探究新知
用公式法求解一元二次方程
1
合作探究
我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.
方程两边都除以 a，得
解：
移项，得
配方，得
问题：接下来能用直接开平方解吗？
你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0) 吗？
∵ a ≠ 0，4a2 ＞ 0，
∴ 当 b2 - 4ac≥0 时，
当 b2 - 4ac＜0 时，
而 x 取任何实数都不能使上式成立，
∴ 此时方程无实数根.
求根公式：
归纳总结
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
用公式法解一元二次方程的前提是：
注意
1. 必须是一般形式的一元二次方程：
ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)；
2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算.
例1 解方程.
（1）x2 - 7x - 18 = 0
解：这里 a = 1，b = -7，c = -18，
∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 ＞ 0.
典例精析
∴ x1 = 9，x2 = -2.
解：将原方程化为一般式：
4x2 - 4x + 1 = 0.
即
（2）4x2 + 1 = 4x.
这里 a = 4，b = -4，c = 1，
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0.
议一议
(1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？
(2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 b2 4ac＜0 时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流.
原方程无实数根.
(x - 1)2 = -2
当 b2 - 4ac＜0 时，
∴ 此时方程无实数根.
两个不等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 4ac 来判定，我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式. 通常用希腊字母“Δ”表示.
b2 4ac ＞ 0
b2 4ac = 0
b2 4ac ＜ 0
Δ ≥ 0
归纳总结
判别式的情况
Δ ＞ 0
Δ = 0
Δ ＞ 0
Δ ＜ 0
Δ = 0
Δ ＞ 0
根的情况
例2 不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(1) 3x2 + 4x - 3 = 0，a = 3，b = 4，c = -3，
(2) 方程化为：
4x2 - 12x+9 = 0，
(3) 方程化为：
5y2 - 7y + 5 = 0，
∴b2 - 4ac = 32 - 4×3×(-3) = 52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
∴b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9
= 0.
∴方程有两个相等的实数根．
∴b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5
= -51＜0.
∴方程无实数根．
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程化为一般形式
根的判别式 b2 - 4ac
当堂小结
1. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
解：这里 a = 1，b = 7， c = -18.
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 ＞ 0，
∴
即 x1 = -9，x2 = 2 .
课堂练习
2. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0.
这里 a = 3，b = - 7，c = 8，
∴ b2 - 4ac = ( - 7 )2 - 4×3×8 = 49 - 96
= - 47 ＜ 0.
∴ 原方程没有实数根.
3.关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
注意：一元二次方程有两个实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解：
∴m≤1.
∵ b2 - 4ac = ( - 2)2 - 4×1×m = 4 - 4m≥0.
4. 不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2 + 3x 4 = 0； （2）x2 x + = 0.
解：（1）2x2 + 3x 4 = 0，a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴方程有两个不等的实数根．
（2）x2 x + = 0，a = 1，b = 1，c = ，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0.
∴方程有两个相等的实数根．
第二章 一元二次方程
九年级上册数学（北师版）
2.2 一元二次方程的解法(2)
第4课时 因式分解法
复习导入
因式分解的方法有哪些？
(1) 提公因式法
am + bm + cm = m(a + b + c)
(2) 公式法
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
因式分解法解一元二次方程
1
探究新知
一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s) 满足关系：h = 15t - 5t 。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？
设小球经过 t s 落回地面，此时 h = 0，
于是可得方程 15t - 5t = 0。
小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。
小颖的方法：
由方程 15t - 5t = 0，
得 5t - 15t = 0，
所以 t1 = 0，t2 = 3。
由方程 15t - 5t = 0，
得 5t = 15t，
所以 t = 3。
两边都约去 5t，得
小明的方法：
他们做得对吗？为什么？
√
×
t = 0
由方程 15t - 5t = 0，
得 5t - 15t = 0，
所以 t1 = 0，t2 = 3。
即 5t(t - 3) = 0，
于是 t = 0，或 t - 3 = 0。
小亮的方法：
他做得对吗 为什么
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
√
当一元二次方程的一边为 0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
要点归纳
例1 解下列方程：
(1) 5x2 = 4x； (2) x(x - 2) = x - 2.
解：(1) 原方程可变形为
x = 0 或 5x - 4 = 0.
∴ x1 = 0，x2 = .
x(5x - 4) = 0.
典例精析
5x2 - 4x = 0，
(2) 原方程可变形为
x - 2 = 0 或 x - 1 = 0.
∴ x1 = 2，x2 = 1.
(x - 2)(x - 1) = 0.
x(x - 2) - (x - 2) = 0.
解下列方程： x2 - 4 = 0，(x + 1)2 - 25 = 0，
解： x2 - 4 = 0 可变形为
x + 2 = 0 或 x - 2 = 0.
∴ x1 = -2，x2 = 2 .
(x + 2)(x - 2) = 0.
∴ x1 = -6，x2 = 4.
(x + 6)(x - 4) = 0.
解：分解因式，得
[(x + 1) + 5][(x + 1) - 5] = 0.
x + 6 = 0 或 x - 4 = 0.
想一想
x2 + 2x - 3 = 0， x2 - 6x + 8 = 0。
∴ x1 = -3，x2 = 1.
解：分解因式，得
(x + 3)(x - 1) = 0.
x + 3 = 0 或 x - 1 = 0.
∴ x1 = 2，x2 = 4.
解：分解因式，得
(x - 2)(x - 4) = 0.
x - 2 = 0 或 x - 4 = 0.
你还有哪些方法解上述方程？
因式分解
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
当堂小结
1. 填空：
① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0；
④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8；
⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).
最适合运用直接开平方法： ；
最适合运用因式分解法： ；
最适合运用公式法： ；
最适合运用配方法： .
⑥
①
③
⑤
⑦
⑧
⑨
②
④
课堂练习
2. 解方程：x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？请指出并改正过来.
解：原方程化为 (x - 5)(x + 2) = 18. ①
由 x - 5 = 3，得 x = 8； ②
由 x + 2 = 6，得 x = 4. ③
∴ 原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. ④
3. 解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，解得 x1 = ，x2 = .
x2 + x - 2 = 0
-2
1
解：原方程化为
x2 - 3x - 28 = 0，
(x - 7)(x + 4) = 0，
x1 = 7，x2 = -4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
解：因式分解，得
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0，
4.解方程：
解得
5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为 r，
根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
解得 .

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