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2.2 用配方法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1课时 直接开平方法与配方法(1)
九年级上册数学（北师版）
复习导入
1. 一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2. 平方根的意义.
两个平方根，互为相反数.
如果 x2 = a ( a≥0 )，那么 x = .
4.用字母表示因式分解的完全平方公式.
a2 ± 2ab + b2 = (a±b)2
(1) 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
x2 = 5， 2x2 + 3 = 5，
解：
直接开平方，得
解：移项，得
2x2 = 2.
直接开平方，得
x = ± 1，
∴ x1 = 1，x2 = -1.
系数化为 1，得
x2 = 1.
议一议
直接开平方法
1
探究新知
x2 + 2x + 1 = 5 (x+6)2 + 72 = 102
你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
解： x2 + 2x + 1 = 5
( x + 1)2 = 5
解： (x+6)2 + 72 = 102
(x+6)2 = 102 -72
(x+6)2 = 51
(2) 你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流.
议一议
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 12x = 15 ，
x1，x2 都符合原问题的要求吗？
（舍）
将方程转化为 (x + m)2 = n 的形式.
当 n≥0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根.
完全平方式
常数
两边都加 62，得
x2 + 12x + 62 = 15 + 62，
即 (x + 6)2 = 51 .
两边开平方，得 x + 6 = ，
因此我们说方程 x2 + 12x = 15 的两个根
x1 = ， x2 = .
填上适当的数或式，使下列各等式成立：
（1）x2 + 12x + = ( x + 6)2；
（2）x2 4x + = ( x )2；
（3）x2 + 8x + = ( x + )2；
你发现了什么规律？
62
22
2
42
4
对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式.
做一做
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
2
二次项系数为 1 的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
配方的方法
归纳总结
例1 解方程 x2 + 8x - 9 = 0.
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9 ，
两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方），得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
即 (x + 4)2 = 25 .
两边开平方，得
x + 4 = ± 5 ，
即 x + 4 = 5 或 x + 4 = -5.
所以 x1 = 1 ， x2 = -9.
通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把一元二次方程化为 (x + m)2 = n 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．
要点归纳
用配方法解
一元二次方程
直接开平方法：
基本思路：
解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤
形如 (x + m)2 = n (n≥0)
将方程转化为(x + m)2 = n
(n≥0)的形式，在用直接开平
方法，直接求根.
1.移项
3.直接开平方求解
2.配方
当堂小结
C. 解方程 4(x - 1)2 = 9，得 4(x - 1) =±3，x1 = ，
x2 =
D. 解方程 (2x + 3)2 = 25，得 2x + 3 =±5，x1 = 1， x2 = -4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. 解方程 x2 = -2，得 x =±
B. 解方程 (x - 2)2 = 4，得 x - 2 = 2，x = 4
D
课堂练习
(1)方程 x2 = 0.25 的根是 .
(2)方程 2x2 = 18 的根是 .
(3)方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 .
3. 解下列方程：
(1) x2 - 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2＝4.
x1＝0.5，x2＝-0.5
x1＝3，x2＝-3
x1＝2，x2＝-1
2.填空:
x1＝9，x2＝-9.
x1＝5，x2＝-5.
x1＝1，x2＝-3.
解：
方程的两根为
4. 解下列方程：
解：移项，得
x2 - 8x= -1，
配方，得
x2 - 8x + 42 = -1 + 42 ，
( x - 4)2 = 15.
由此可得
即
2.2 用配方法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 配方法(2)
九年级上册数学（北师版）
(1) 9x2 = 1 ；
(2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
1.用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 + 6x + 9 = 5；
(2) x2 + 3x - 4 = 0.
把两题转化成
(x + m)2 = n(n≥0)的
形式，再利用开平方
复习导入
问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0； ② 3x2 + 8x - 3 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8，
配方，得 (x + 3)2 = 1.
开平方，得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 ， x2 = -4.
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1
探究新知
试一试：解方程： 3x2 + 8x - 3 = 0.
解：两边同除以 3，得
配方，得
开方，得 即
所以 x1 = ，x2 = -3 .
配方，得
由此可得
二次项系数化为 1，得
解：移项，得
2x2 - 3x = -1.
即
例1 解下列方程：
配方，得
∵ 实数的平方不会是负数，
∴ x 取任何实数时，上式都不成立．
∴ 原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为 1，得
即
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x + m)2 = n.
①当 n＞0 时，则 ，方程的两个根为
②当 n = 0 时，则(x + m)2 = 0，x + m = 0，开平方得方程的两个根为 x1 = x2 = -m.
③当 n＜0 时，则方程 (x + m)2 = n 无实数根.
归纳总结
引例：一个小球从地面上以 15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：
h = 15t - 5t2.
小球何时能达到 10 m 高？
解：将 h = 10 代入方程中 15t - 5t2 = 10.
两边同时除以 -5，得 t2 - 3t = -2.
配方，得 t2 - 3t + = - 2.
配方法的应用
2
即
移项，得 =
即 t - = 或 t - = .
所以 t1 = 2 ， t2 = 1 .
即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高.
1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，则 m 的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 -2
C
练一练
配方法
定义
步骤
一 移常数项且二次项系数化为 1；
二 配方[配上 ]；
三 写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四 开平方解方程
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上
当堂小结
1.解下列方程：
（1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12；
（3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x + 2 = 0，
(x + 1)2 = -1.
∴此方程无解.
解：x2 - 4x - 12 = 0，
(x - 2)2 = 16.
∴ x1 = 6，x2 = -2.
解：x2 + 2x - 3 = 0，
(x + 1)2 = 4.
∴x1 = -3，x2 = 1.
课堂练习
2.利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 x2 x 1 的值总是负数，并求出它的最大值.
解： x2 x 1 = ( x2 + x + )+ 1
∴ x2 x 1 的值总是负数.
当 时， x2 x 1有最大值
3.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为 x m，根据题意得
(35 - x)(26 - x) = 850.
整理，得 x2 - 61x + 60 = 0.
解得
x1 = 60 (不合题意，舍去)，x2 = 1.
答：道路的宽为 1 m.
4. 已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足等式
，试判断△ABC 的形状.
解：对原式配方，得
由非负式的性质可知
∴ △ABC 为等边三角形.

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