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20.2 二次根式的乘除
第3课时 二次根式的除法
第20章 二次根式
1.掌握二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质；（重点）
2.会利用除法法则进行二次根式的运算.（难点）
学习目标
1. 二次根式的两个基本性质:
= a
(a≥0)
= | a |
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
=
2. 二次根式的乘法：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.
3. 二次根式乘法运算规律公式
（a≥0，b≥0)
关键：将被开方数因式分解或因数分解，使被开方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”.
如何化简二次根式？
二次根式的除法法则及运算
1
计算下列各式：
(1) ___÷___=____；
= _____；
(2) ___÷___=____；
(3) ___÷___=____；
= _____；
= _____.
2
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观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？
特殊
一般
a，b 同号就可以啦
问题 在前面发现的规律 中，a，b 的取值范围有没有限制呢？
不对，同乘法法则一样，a，b 都为非负数.
你们都错啦，应该是 a≥0， b＞0.若 b = 0 时等式两边的二次根式就没有意义啦！
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为 1 时，可类比单项式除以单项式的法则，易得
归纳总结
解：
例1 计算：
典例精析
1. 计算：
解:
除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算
练一练
解:
归纳: 类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
商的算术平方根的性质及化简
2
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到
二次根式的商的算术平方根的性质:
(a≥0，b＞0).
例2 化简 ，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母.
解：
分析：这里，二次根式 的被开方数中含有分母，
通常可利用分数（或分式）的基本性质，先将分母“配”成完全平方，再“开方”出来.
典例精析
例3 化简:
解:
还有其他解法吗
补充解法：
典例精析
解：
先运用商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质
观察上面各数并思考：
(1) 你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？
(2) 这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简二次根式了？
最简二次根式的概念及判断
3
可以发现这些式子有如下两个特点：　　
(1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2.
简记为：分母无根号，根号无分母
　我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
解：
通常将这种化简过程称为分母有理化，即把分母中的根号化去的过程.
如例4，将分子、分母都乘以 ，得
二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子、分母都乘以一个恰当的二次根式就可以了.
2. 化简 ，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母.
解：
练一练
解：
解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次根式，需要熟记 1~100 以内非二次根式的化简.如 等.
例4 把下列二次根式化成最简二次根式.
1. 化简 的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
B
2.下列根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
C
3. 若使等式 成立，则实数 k 的取值范围是 ( )
B
A. k≥1 B. k≥2
C. 1＜k≤2 D. 1≤k≤2
4.下列各式的计算中，结果为 的是(　　)
A. B.
C. D.
C
5. 化简：
解:
6.在物理学中有公式 W = I2Rt，其中 W 表示电功(单位：J )，I 表示电流(单位：A)，R 表示电阻 (单位：Ω)，t 表示时间(单位：s)，如果已知 W、R、t，求 I，则有 . 若 W = 2400 J，R = 100 Ω，t = 15 s．
试求电流 I．
解：当 W = 2400，R = 100，t = 15 时，
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式.
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
(1)利用公式：
(2)把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算.
3.最简二次根式的概念　　　　
被开方数不含分母；
被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2
4.如何化去分母中的根号，请举例说明．
可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去分母中的根号．
5.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？　
把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质．

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