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第20章 二次根式
20.3 二次根式的加减
学习目标
1. 理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.(重点)
2. 理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算.(难点)
3. 通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良好学习习惯.
二次根式计算、化简的结果符合什么要求？
(1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2
最简二次根式
观察下列二次根式有什么共同特征：
每组的二次根式的被开方数相同
同类二次根式
（1） ···
（2） ···
1
经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式.
下列根式又有什么共同特征？
(3) ···
(1)说出 的三个同类二次根式；
(2)下列各式中哪些是同类二次根式
答案不唯一，如
先化成最简二次根式，再作判断.
答：
巩固概念
二次根式的加减法则及运用
2
例1 计算：
解：
思考：计算：
分析 先将各二次根式化简：
=____________________.
=____________________.
解
（化成最简二次根式）
（合并同类型）
思考：如何合并同类二次根式？
合并同类二次根式的方法是：
（1）化为最简二次根式
（2）系数相加减
（3）二次根式不变
归纳总结
二次根式的加减法则：
类比合并同类项，说说计算过程有什么规律？
　　二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并.
一化
二找
三合并
知识要点
例2 计算：
解：
典例精析
1. 计算：
解：
练一练
2. 计算：
(1) ；
(2) .
解：(1)
(2)
思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
二次根式的加减实质是合并同类二次根式 (被开方数相同). 整式的加减的实质是合并同类项．
（1）
（2）
计算：
　　思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（2）呢？
二次根式的混合运算方法
3
　　与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，
后加减；
　　对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；
　　对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
（1）
（2）
解：
（1）
　　思考：（1）中，每一步的依据是什么？
　　第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；
　　第二步的依据是：二次根式乘法法则；
　　第三步的依据是：二次根式化简．
解：
（2）
思考：(2) 中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：多项式除以单项式法则；
第二步的依据是：二次根式除法法则．
3.计算：
练一练
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适用.
平方差公式：(a + b)(a - b) = a2 - b2；
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2；
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2；
完全平方公式：
知识要点
例3 计算：
典例精析
= 2 - 1
= 1.
解：
4. 计算：
(1) ；
解：(1) 原式＝
(2) ；
(2) 原式＝
练一练
1. 计算：
解：
解：
解题反思：(1) 有括号的先去括号再进行运算；
(2) 被开方数不相同的最简二次根式是不能合并的.
把二次根式看成“项”，(1)、(2)、(3) 分别可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多项式÷单项式”、“多项式×多项式”的运算.
3. 计算：
（1）
（2）
（3）
提示
看看和你做的一样吗？
（1）
解：
（2）
（3）
3. 计算：
用了公式
(a + b)(a - b)=a2 - b2
用了公式
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
1.同类二次根式的定义.
2.二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式；
(2)把各个同类二次根式合并.
3.如何合并同类二次根式
与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减，作为结果的系数，根号及根号内部都不变.
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
谈一谈本节课自己的收获和感受？
（1） 以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立；
（2）计算结果最后一定要化成最简形式；
（3）二次根式的混合运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点；
（4）计算时要做到准确熟练.

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