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第21章 一元二次方程
21.2 一元二次方程的解法
第 1 课时 直接开平方法和因式分解法
学习目标
1. 学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方程；（重点）
2. 了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤. (重点)
一元二次方程的一般式是怎样的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些吗？
ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
直接开平方解方程
解方程: x2 = 4.
1
对于题，有这样的解法：
方程 x2 = 4，
意味着 x 是 4 的平方根，所以
即 x = ±2.
这里得到了方程的两个根，通常也表示成
x1 = 2 ，x2 = – 2.
一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可解得 ，
知识要点
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法.
例1 解下列方程：
(1) x2 – 2 = 0； (2) 16x2 – 25 = 0.
解：(1) 移项，得
x2 = 2.
直接开平方，得
即
(2) 移项，得 16x2 = 25.
即
直接开平方，得
方程两边都除以 16，得
典例精析
2.用直接开平方法解下列方程：
(1) 3x2－27 = 0；
(2) (2x－3)2 = 9.
1.方程 x2 = 0.25 的根是
方程 2x2 = 18 的根是　　
方程 (2x - 1)2 = 9 的根是
x1＝0.5，x2＝－0.5
x1＝3，x2＝－3
x1＝2， x2＝－1
x1＝3， x2＝－3
x1＝0， x2＝3
练一练
因式分解：
把一个多项式化成几个整式的积的形式.
在学习因式分解时，我们知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解.
用因式分解法解一元二次方程
问题：什么是因式分解？
2
解方程: x2 - 1 = 0.
对于上题 x2 – 1 = 0，有这样的解法：
将方程左边用平方差公式分解因式，得
(x – 1)(x + 1) = 0，
必有 x – 1 = 0 或 x + 1 = 0.
分别解这两个一元一次方程，得
x1 = 1 ，x2 = – 1.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
知识要点
思考：(1) 方程 x = 4 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将方程化成什么形式？
(2) 方程 x 1 = 0 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？
x 4 = 0
x = 4
移项
(x 4)(x + 4)= 0
x = 1
x 1 = 0
移项
使用两种方法解方程：
x2 – 900 = 0.
(1) 移项，得
x2 = 900，
直接开平方，得
x =±30，
∴x1 = 30，x2 = – 30.
(2) 左边因式分解，得
x + 30 = 0或x – 30 = 0，
所以
得 x1 = 30，x2 = – 30.
(x + 30)(x – 30)= 0，
做一做
典例精析
例2 解下列方程：
(1) 3x2 + 2x = 0； (2) 5x(x – 3) – 10(x – 3) = 0.
解 (1)方程左边分解因式，得 x(3x + 2) = 0.
所以 x = 0 或 3x + 2 = 0，
得
x1 = 0，x2 = – .
(2)方程左边分解因式，得
5(x – 3)(x – 2) = 0.
所以 x – 3 = 0 或 x – 2 = 0，
得 x1 = 3，x2 = 2.
例3 解下列方程：
(1) x2－3x＝0； (2) 25x2＝16.
解：(1) 将原方程的左边分解因式，得
x(x - 3)＝0，
则 x = 0，或 x - 3 = 0，
解得 x1 = 0，x2 = 3.
(2) 将方程右边常数项移到左边，得 25x2－16＝0，
再根据平方差公式因式分解，得(5x - 4)(5x + 4)＝0，
则 5x - 4＝0，5x + 4＝0.
解得 x1 = 0.8，x2 = -0.8.
典例精析
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
将方程的左边分解因式；
根据若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
因式分解法的基本步骤是：
归纳总结
1.填空：
(1) 方程 x2 + x = 0 的根是 _________________；
(2) x2 - 25 = 0 的根是________________.
x1 = 0， x2 = -1
x1 = 5，x2 = -5
练一练
例4 解下列方程：
(1) (x＋1)2－4＝0； (2) 12(2－x)2－9＝0.
分析 两个方程都可以通过简单的变形，化为
( )2＝a (a≥0)
的形式，用直接开平方法求解.
解 (1) 原方程可以变形为 (x＋1)2＝4.
直接开平方，得 x＋1＝±2.
所以 x1＝1，x2＝－3.
可化为( x + h)2＝a (a≥0)型方程的解法
3
(2) 12(2－x)2－9＝0.
(2) 原方程可以变形为
_____________.
直接开平方，得
_________________.
所以 x1＝ ，x2＝ .
例2 解下列方程：
（1）(x＋1)2 = 2；
解析：只要将 (x＋1) 看成一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
即 x1 = 1+
，x2 = 1
解：∵ x + 1 是 2 的平方根，
∴ x + 1 =
解析：先将－4 移到方程的右边，再同第 (1) 小题一样地解.
（2）(x 1)2 4 = 0；
即 x1 = 3，x2 = 1.
解：移项，得 (x 1)2 = 4.
∵ x 1 是 4 的平方根，
∴ x 1 = ±2，
∴ x1 = ，
x2 =
（3）12(3 2x)2 3 = 0.
解析：先将 3 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 12，再同第 (1) 小题一样地去解.
解：移项，得 12(3 2x)2 = 3，
两边都除以 12，得 (3 2x)2 = 0.25.
∵ 3 2x 是 0.25 的平方根，
∴ 3 2x = ±0.5，
即 3 2x = 0.5，或 3 2x = 0.5.
小明和小亮一起解方程
x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0.
小明将方程左边分解因式，得
(3x + 2)(x – 6) = 0，
所以 3x + 2 = 0 或 x – 6 = 0.
得
你知道吗？
小亮的解法是这样的：
移项，得 x(3x + 2) = 6(3x + 2)，
方程两边都除以 3x + 2，得
x = 6.
小亮说：“我的方法多简便！”
可另一个根 哪里去了？小亮的解法对吗？你能解开这个谜吗？
3x + 2 可能为 0.
1.用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2 = 12x； (2) (x - 2)(2x - 3) = 6；
(3) x2 + 9 = -6x； (4) 9x2 = (x - 1)2.
解 :(1)移项得 4x2 - 12x = 0，即 x2 - 3x = 0，x(x - 3) = 0，得 x1 = 0，x2 = 3；
(2)原方程可以变形为 2x2 - 7x = 0，
分解因式为 x(2x - 7) = 0，解得 x1 = 0，x2 = 3.5；
(3)原方程可以变形为(x + 3)2 = 0，解得 x = -3；
(4)移项得 9x2 - (x - 1)2 = 0，
变形得(3x - x + 1)(3x + x - 1) = 0，
解得 x1 = -0.5，x2 = 0.25.
解方程：(x + 4)(x - 1) = 6.
解 : 把原方程化为一般形式，得
x2 + 3x - 10 = 0
把方程左边分解因式，得
(x - 2)(x + 5) = 0
因此 x - 2 = 0 或 x + 5 = 0.
∴x1 = 2，x2 = -5
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x = 0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17) = 0，
∴ x = 0 或 3x－17 = 0.
解得 x1 = 0，x2 =
解下列一元二次方程：
（1）(x－5)(3x－2) = 10； (2) (3x－4)2 = (4x－3)2.
(2) (3x－4)2 = (4x－3)2.
(2)移项，得 (3x－4)2－(4x－3)2 = 0.
将方程的左边分解因式，得
[(3x－4)+(4x－3)][ (3x－4) －(4x－3)]=0，
即 (7x－7) (－x－1) = 0.
∴7x－7 = 0 或 －x－1 = 0.
∴x1 = 1， x2 = －1.
注意：当方程的一边为 0 时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.

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