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第21章 一元二次方程
21.1 认识一元二次方程
学习目标
1. 理解一元二次方程的概念；(重点)
2. 了解一元二次方程的一般形式； (重点)
3. 经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点）
1. 你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2. 什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
1.审；2.设；3.列；4.解；5.验；6.答.
3. 我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
一般形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？
思考：1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？
方程
一元二次方程及其一般形式
1
2.如图，如果设绿地的宽为 x m，
则绿地的长为 .
3.由于矩形绿地面积为 900 平方米. 你能根据题意，列出方程吗？
把以上方程整理得： .
x(x + 10) = 900，
x2 + 10x - 900 = 0. ①
x + 10
问题2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册. 求这两年的年平均增长率.
设这两年的年平均增长率为 x .
已知去年年底的图书数是 5 万册，则今年年底的图书数是 万册.
同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的 倍，即 (万册).
可列得方程
_______________，
整理可得
_____________________.
5(1 + x)
(1 + x)
5(1 + x)(1 + x) = 5(1 + x)2
5(1 + x)2 = 7.2
5x2 + 10x - 2.2 = 0 ②
请观察下面两个方程并回答问题：
（1）它们是一元一次方程吗？
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
类比发现，探索新知
1. 等号两边都是整式
2. 只含有一个未知数
3. 未知数的最高次数是 2
特点：
x2 + 10x - 900 = 0. ①
5x2 + 10x - 2.2 = 0. ②
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是
ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是已知数，a≠0)
(4) 通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？
知识要点
想一想：为什么要限制 a ≠ 0？b，c 可以为零吗？
一元二次方程的一般形式：
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
知识要点
想一想：为什么一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，
当 a≠0，b = 0 时，
ax2＋c = 0，
当 a≠0，c = 0 时，
ax2＋bx = 0，
当 a≠0，b = c = 0 时，
ax2 = 0，
总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简为 x2 - 3x + 2 = 0
化简为 4x2 -1 = 4x2 +12x + 9
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.
典例精析
1.列表填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2 = 3x
(x - 1)2 - 9 = 0
x(x + 2) = 3(x + 2)
4x2 - 3x = 0
x2 - 2x - 8 = 0
x2 - x - 6 = 0
4
-3
0
1
-2
-8
1
-1
-6
练一练
2. 下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由.
(1) x + 2 = 5x - 3；
(2) x2 = 4；
(3) 2x2 - 4 = (x + 2)2；
3. 关于 x 的方程 (2a - 4)x2 - 2bx + a = 0 在什么条件下为一元二次方程？
不是
是
是
不是
当 2a - 4≠0 时，即 a≠2 时，该方程为一元二次方程.
(4)
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点 不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax = b (a ≠ 0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
都是整式方程，且只含有一个未知数
未知数次数只能是 1
未知数的最高次数是 2
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
判断未知数的值 x = -1，x = 0，x = 2 是不是方程 x2 - 2 = x 的根.
一元二次方程的根
2
例2 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0.
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值.
典例精析
3.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2 - 3x + 2 = 0 (x1 = 1， x2 = 2，x3 = 3)
当 x1 = 1 时，x2 - 3x + 2 = 1 - 3 + 2 = 0，故是该方程的解；
当 x2 = 2 时，x2 - 3x + 2 = 4 - 6 + 2 = 0，故是该方程的解；
当 x3 = 3 时，x2 - 3x + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 ≠ 0，
故不是该方程的解.
练一练
1. 下列哪些是一元二次方程？
是
不是
是
不是
不是
是
3x + 2 = 5x - 2；
x2 = 0；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
2. 填表：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
3. 关于 x 的方程 (k2 1)x2 ＋ 2(k 1)x＋2k＋ 2＝0，
当 k 　　时，是一元二次方程；
当 k 　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝ 1
4. (1) 已知方程 5x + mx 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的
值为 ；
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 = 0
有一个根为 0，求 m 的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将 x = 0 代入方程得 m2 4 = 0，
解得 m = ±2.
∵ m + 2 ≠ 0，
∴ m ≠ 2.
综上可知 m = 2.
_____
5. (1) 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中 π 取 3）；
解：由于圆的半径为 x cm，故其面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得
200 cm
150 cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.
整理，得
根据题意，得
一元二次方程
概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件
根(解)
使方程左右两边相等的未知数的值
建立一元二次方程模型
审→设→找→列

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