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21.2 一元二次方程的解法
第 2 课时 配方法
第21章 一元二次方程
学习目标
1. 理解配方法的概念；
2. 掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题；
(重点）
3. 探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
（难点）
(1) 9x2 = 1；
(2) (x－2)2 = 2.
1. 用直接开平方法解下列方程：
2. 你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1) a2 + 2ab + b2 = ( )2；
(2) a2 - 2ab + b2 = ( )2.
a + b
a b
解：
解：
读诗词解题：
(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物.
而立之年督东吴，早逝英年两位数.
十位恰小个位三，个位平方与寿符.
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为 x，则十位数字为 x - 3.
x2 - 11x + 30 = 0
x2 = 10(x - 3) + x
用配方法解一元二次方程
1
例1 解方程：x + 2x = 5.
思考 要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化
( )2＝a
的形式. 那么，怎么实现呢？
将方程左边因式分解，得到完全平方式
用直接开平方法解方程
例1 解方程：x + 2x = 5.
解 原方程两边都加上1，得
x + 2x + 1 = 6，
即 (x + 1)2 = 6.
直接开平方，得
x + 1 = ±.
所以
x = -1±，
即
x1 = -1+，x2 = -1 -
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2 + 4x + = ( x + )2；
（2）x2 6x + = ( x )2；
（3）x2 + 8x + = ( x + )2；
（4）
x2 x + = ( x )2.
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
填一填
对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式.
这里的解法，是通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.
这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
知识要点
填一填：
x2 + px + ( )2 = ( x + )2.
例 1 用配方法解下列方程:
(1) x2 - 4x + 1 = 0； (2) 4x2 - 12x - 1 = 0.
典例精析
解：(1) 原方程可化为
x2 – 4x = – 1.
配方（两边同时加上 4），得
x2 – 2·x·2 + 22 = – 1 + 22 ，
即 (x – 2)2 = 3.
直接开平方，得
所以
(2) 移项，得 4x2 – 12x = 1.
两边同时除以 4，得
配方，得
即
直接开平方，得
所以
(2) 4x2 - 12x - 1 = 0.
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项：把常数项移到方程的右边；
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
开方：根据平方根意义,方程两边开平方；
求解：解一元一次方程；
定解：写出原方程的解.
归纳总结
1. 解下列方程：
(1) x2 + 8x + 4 = 0；
(2) 4x2 + 8x = -4；
解：移项，得
x2 + 8x =－4.
配方，得
(x + 4)2 = 12.
开平方，得
解得
解：整理，得
x2 + 2x + 1 = 0.
配方，得
(x + 1)2 = 0.
开平方，得
x + 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
练一练
(3) -2x2 + 6x - 8 = 0.
解：整理，得 x2 3x = 4.
配方，得
所以原方程无实数根.
①当 p > 0 时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
②当 p = 0 时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x1 = x2 = -n.
③当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 (x + n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x + n)2 = p. （Ⅱ）
方法总结
题（2）中，注意到 4x2 = (2x)2 ，方程移项后可以写成
(2x)2 – 2 · 2x · 3 = 1，
可以怎样配方？试一试，并完成解答.
(2x)2 – 2·2x·3 + 32 = 1 + 32
(2x – 3)2 = 10
思考
用配方法解方程：
x2 + px + q = 0 (p2 – 4q≥0).
所以
解：配方，得
即
直接开平方，得
试一试
(1) x2＋12x = －9； (2) －x2＋4x－3 = 0
1. 用配方法解下列方程：
解：(1) 两边同时加上 36，得 x2＋12x＋36 = －9＋36，
配方得 (x＋6)2 = 27，解得
(2)原方程可变形为 x2－4x＋3 = 0，
配方得 (x－1)(x－3) = 0，解得 x1 = 1，x2 = 3.
2. 已知代数式 x2 + 1 的值与代数式 2x + 4 的值相等，
求 x 的值.
解：根据题意，得 x2 + 1 = 2x + 4.
整理，得 x2 2x = 3.
配方，得 (x 1)2 = 4.
解得 x1 = 1，x2 = 3.
3. 用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2－3k＋5 的值必定大于零.
解： k2－3k＋5 = (k－ )2＋ ，
∵ (k－ )2≥0，
∴ k2－3k＋5＞0.
1.一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.
注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项：把常数项移到方程的右边；
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
开方：根据平方根意义,方程两边开平方；
求解：解一元一次方程；
定解：写出原方程的解.

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