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第 3 课时 公式法
21.2 一元二次方程的解法
第21章 一元二次方程
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点）
2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点）
1. 化1：把二次项系数化为 1；
2. 移项：把常数项移到方程的右边；
3. 配方： 方程两边同加一次项系数一半的平方；
4. 变形：化成 (x + m)2 = a(a≥0)；
5. 开平方，求解.
“配方法”解方程的基本步骤：
解：两边同时除以 2，得 x2 + 6x - 1 = 0，
两边同时加上 10，得 x2 + 6x + 9 = 10，
配方得 (x + 3)2 = 10，
解得
用配方法解下面这个一元二次方程：
你还会其他的解法吗？
一元二次方程的求根公式
1
我们用配方法来解一般形式的一元二次方程：
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
因为 a≠0，方程两边除以 a，得
移项，得
配方，得
因为 a≠0，所以 4a2 > 0. 当 b2 – 4ac≥0 时，直接开平方，得
即
即
所以
这个公式叫做一元二次方程的求根公式；
将一元二次方程的系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
知识要点
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
(b - 4ac≥0)
一般地，对于一元二次方程
这里为什么要强调 b2 – 4ac≥0 ？如果 b2 – 4ac < 0会怎样？
当 b2 - 4ac＜0，
这时 ＜0，由①可知 ＜0，
而 x 取任何实数都不能使 ＜0，
因此方程无实数根.
①
例1 解下列方程：(1) 2x2 + x – 6 = 0；(2) x2 + 4x = 2；
(3) 5x2 – 4x – 12 = 0； (4) 4x2 + 4x + 10 =1 – 8x.
解：(1) 这里 a = 2，b = 1，c = – 6，
因为 b2 – 4ac = 12 – 4×2×( – 6)
= 1 + 48 = 49 > 0，
即
所以
用公式法解一元二次方程
2
即
(2) x2 + 4x = 2；
（2）将方程化为一般形式，得
x2 + 4x – 2 = 0.
因为 b2 – 4ac = 24＞0，
所以
(3) 5x2 – 4x – 12 = 0；
即
（3）因为 b2 – 4ac = 256＞0，
所以
(4) 4x2 + 4x + 10 = 1 – 8x.
即
(4) 整理，得 4x2 + 12x + 9 = 0.
因为 b2 – 4ac = 0，
所以
这里 b2 – 4ac = 0 ，方程有两个相等 的实数根.
运用公式法解一元二次方程的步骤：
(1) 把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；
(2) 求出 b - 4ac 的值；
(3) 若 b - 4ac≥0，把 a、b、c 及 b - 4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 b - 4ac＜0，此时方程无实数解.
归纳总结
1. 用公式法解下列一元二次方程：
解：(1)
练一练
解：将原方程化为一般形式，得
根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选用的？和同学交流一下.
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
思考
现在我们来解决 22.1 节中的问题 1：
x(x + 10) = 900，
x2 + 10x – 900 = 0，
它们都是所列方程的根，但负数根 x2 不符合题意，应舍去，取
因此绿地的宽约为 25.4 米，长约为35.4 米.
x + 10 ≈ 35.4，符合题意.
2. 用公式法解下列一元二次方程：
解:（1）原方程即为 ，
练一练
3. 解方程：x2 + x - 1 = 0. (精确到 0.001)
解：
用计算器求得：
4. 用公式法解一元二次方程：
解：去括号，得 ，
化简，得 ，
即
1.用公式法解方程 ，得到（ ）
A
A.
C.
D.
B.
2. 用公式法解下列方程：
解：
3.选择恰当的方法解下列方程：
解：当 x = 0 时，原方程成立；
当 x ≠ 0 时，两边同时除以 x，得
2x - 7 = 2，解得 x = 4.5 .
综上原方程的解为 x1 = 0，x2 = 4.5 .
4.关于 x 的一元二次方程 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
解：由题意可设该二元一次方程的两根分别为 k，-k， 由求根公式得
这个公式叫做一元二次方程的求根公式；
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
(b - 4ac≥0)
一般地，对于一元二次方程
运用公式法解一元二次方程的步骤：
(1) 把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；
(2) 求出 b - 4ac 的值；
(3) 若 b - 4ac≥0，把 a、b、c 及 b - 4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 b - 4ac＜0，此时方程无实数解.

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