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第 4 课时 一元二次方程根的判别式
21.2 一元二次方程的解法
第21章 一元二次方程
1. 了解一元二次方程根的判别式；（重点）
2. 会判断一元二次方程根的情况； (难点)
3. 掌握一元二次方程根的判别式的应用.（难点）
学习目标
(1) 把方程化为一般形式确定 a，b，c 的值；
用公式法求下列方程的根：
(2) 计算 b - 4ac 的值；
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
(3) 代入求根公式
计算方程的根
(1) 2x - x - 2 = 0；
只有当 b2 – 4ac≥0 时，才能直接开平方，得
用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
( * )
ax2 + bx + c = 0 (a≠0).
一般地，对于一元二次方程
也就是说，只有当一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac≥0 时才有实数根.
因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.
如果 b2 – 4ac < 0会怎样？
观察方程 ，
我们发现有如下三种情况：
（ ）
一元二次方程根的判别式
1
(1) 当 b2 – 4ac > 0 时，方程 （ ）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：
(2) 当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （ ）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根：
(3) 当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （ ）的右边是一个负数，而对于任何实数 x，方程左边
，因此方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况
b2 – 4ac
3.当方程没有实数根时，有 b2 – 4ac < 0 .
1.当方程有两个不相等的实数根时，有 b2 – 4ac > 0 ；
2.当方程有两个相等的实数根时，有 b2 – 4ac = 0 ；
反过来，对于一元二次程：
ax2 + bx + c = 0 (a≠0).
这里的 b2 – 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“Δ”*来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根的情况：
反之，同样成立！
当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ＜0 时，方程没有实数根.
归纳总结
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 3x2 = 5x – 2；
(3) 4(y2 + 1) – y = 0.
解：(1) 原方程可变形为 3x2 – 5x + 2 = 0.
因为 Δ = (– 5)2 – 4×3×2 = 25 – 24 = 1 > 0，所以方程有两个不相等的实数根.
典例精析
(2) 因为 Δ = _________________________，所以方程________________________.
有两个相等的实数根
(3) 原方程可变形为___________________.
因为 Δ =_______________________________，所以方程______________.
4y2 – y + 4 = 0
(– 1)2 – 4×4×4 = 1 – 64 = – 63
没有实数根
(3) 4(y2 + 1) – y = 0.
按要求完成下列表格：
Δ 的值
根的 情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
方程
判别式
与根
0
= 0
-15
< 0
17
> 0
填一填
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 3x2 + 4x 3 = 0； (2) 4x2 = 12x 9；
解：(1) a = 3，b = 4，c = 3，
∴ Δ = b2 4ac = 42 4×3×( 3) = 52＞0.
∴ 方程有两个不相等的实数根．
(2) 方程化为 4x2 12x + 9 = 0，a = 4，b = 12，c = 9，
∴ Δ = b2 4ac = ( 12)2 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
练一练
(3) 7y = 5( y2 + 1 ).
解：方程化为 5y2 7y + 5 = 0，a = 5，b = 7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = ( 7)2－4×5×5 = 51＜0.
∴ 方程没有实数根．
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0.
当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？
当 k 取何值时，方程没有实数根？
解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k)
= 16k + 9.
试一试
方程有两个相等的实数根.
方程没有实数根.
当 16k + 9 < 0，即 时，
方程有两个不相等的实数根.
当 16k + 9 > 0，即 时，
当 16k + 9 = 0，即 时，
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2 + 3x 4 = 0； （2）x2 x + = 0；
解：（1）a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴ 方程有两个不等的实数根．
（2）a = 1，b = 1，c = ，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
解：x2 x + 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1×1 = 3 < 0.
∴ 方程无实数根．
(3) x2 x + 1 = 0.
2. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围.
解：化为一般式，得 (m 1)x2 2mx + m 2 = 0．
Δ = 4m2 4(m 1)(m 2)≥0，且 m 1≠0.
解得
且 m≠1.
3. 不解方程，判断关于 x 的方程
的根的情况.
解：
∴ 原方程有两个实数根．
Δ ＝( k )2 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
反之，同样成立！
当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ＜0 时，方程没有实数根.
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，

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