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第 5 课时 一元二次方程的根与系数的关系
21.2 一元二次方程的解法
第21章 一元二次方程
学习目标
1. 了解一元二次方程根与系数的关系；(重点)
2. 会应用一元二次方程根与系数的关系. (难点)
2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？
1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？
方程 x1 x2 x1 + x2 x1 x2
x2 + 3x - 4 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
x2 - 5x + 4 = 0
问题：你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2，
x1 x2 与对应的一元二次方程的系数有什么关系？
1 -4
-3
-4
-1 3
2
- 3
1 4
5
4
一元二次方程的根与系数的关系
1
探索求证
我们来考察方程 x2 + px + q = 0 ( p2 – 4q≥0 ).
由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
所以
二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1、x2，那么
x1 + x2 = – p ，x1·x2 = q.
知识要点
例1 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积：
(1) x2 + 3x – 5 = 0； (2) 2x2 – 3x – 5 = 0.
解：(1) 设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x1 + x2 = – 3 ，x1·x2 = – 5.
(2) 方程两边都除以 2，得
设两根为 x1、x2，可得
典例精析
方 程 x1 x2 x1+x2 x1 x2
- 2
x1+x2，x1 x2 与对应的一元二次方程的系数有什么关系？
9x2 - 6x + 1 = 0
3x2 - 4x - 1 = 0
3x2 + 7x + 2 = 0
填一填
例2 试探索一元二次方程 x2 + px + q = 0 ( p2 – 4q≥0).
的根与系数的关系.
解：
典例精析
任何一个一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根是 x1，x2，
那么
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2 - 4ac≥0.
一、直接运用根与系数的关系
例3 不解方程，求下列方程两根的和与积.
一元二次方程的根与系数的关系的应用
2
在使用根与系数的关系时，应注意：
（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）在使用 时，注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的代数式的值
例4 设 x1，x2 是方程 2x + 4x - 3 = 0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
解：由题意知
三、构造新方程
例3 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1.
解：(x - 2)(x - 3)=0，
x2 - 5x + 6 = 0.
例4 方程 的两根的和为 6，一根为 2，求 p、q 的值.
四、求方程中的待定系数
解：若方程的另一个根为 x1，由题意得
2 + x1 = - p = 6，2x1 = q，
即 x1 = 4，p = - 6，q = 8.
1.关于 x 的方程 有一个正根，一个负根，求 m 的取值范围.
解：由已知得
即
m＞0
m - 1＜0
∴0＜m＜1
2. 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 5.
解： 5(x - 2)(x - 3) = 0，
5x2 - 25x + 30 = 0.
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
一正根，一负根
Δ ＞0
x1x2＜0
两个正根
Δ ≥0
x1x2＞0
x1+x2＞0
两个负根
Δ ≥0
x1x2＞0
x1+x2＜0

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