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21.3 实践与探索
第 1 课时 利用一元二次方程解决图形、数字问题
第21章 一元二次方程
1．能列出关于图形、数字问题的一元二次方程；（重点）
2．体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点）
3．经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
学习目标
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
问题1 解一元二次方程有哪些方法？
问题2 解方程：
(80－2x)(60－2x)＝1500
解：(1) 先把方程化为一元二次方程的一般形式
x2－70x＋825＝0；
(2) 确认 a，b，c 的值 a＝1，b＝－70，c＝825；
(3) 判断 b2－4ac 的值
b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0；
(4)代入求根公式，得 x1＝55，x2＝15.
(80－2x)(60－2x)＝1500
问题3 列一元一次方程解应用题的步骤：
那么列一元二次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？
①审题
②找等量关系
③列方程
④解方程
⑤答
问题1 学校生物小组有一块长 32 m、宽 20 m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为 540 m ，小道的宽应是多少
利用一元二次方程解决图形问题
1
20
32
x
x
分析 问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出右图，不难发现小道的占地面积与位置无关.
设小道的宽为 x m，则两条小道的面积分别为 32x m 和 20x m ，其中重叠部分小正方形的面积为 x m .
根据题意，得
20
32
x
x
20×32 - 32x - 20x + x = 540.
还有其他列法吗？
试一试
如果设想把小道平移到两边，如图所示，那么小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 x
32 x
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜20.
(32 x)(20 x) = 540，
可列方程为
变式一
x
20-x
32-x
答：道路的宽为 2 m.
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.
20
32
x
2x
20-x
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜16.
(32 2x)(20 x) = 540.
可列方程为
变式二
32-2x
解得 x1 = 18 -
x2 = 18 +
(舍去).
答：道路的宽为 (18 - ) m.
20
32
2x
2x
32 2x
20 2x
在宽为 20 m，长为 32 m
的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜10.
(32 2x)(20 2x) = 540.
可列方程为
变式三
∴ x = 1.
答：道路的宽为 1 m.
解得 x1 = 1，x2= 25(舍去).
问题2 小明把一张边长为 10 cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图.
(1) 如果要求长方体的底面积为 81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
解：设剪去的正方形的边长为 x m，
根据题意可得 (10 - 2x) = 81.
可得 x1 = 0.5，x2 = 9.5 (舍去).
(2) 如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
折叠成的长方体底面积(cm2) 81 64 49 36 25 16 9 4
剪去的正方形边长(cm)
折叠成的长方体侧面积(cm2)
0.5
2.5
1
3
1.5
3.5
2
4
18
32
42
48
50
48
42
32
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
(80 2x)x = 600.
整理得 x2 40x + 300 = 0，
解得 x1 = 10，x2 = 30.
当 x = 10 时，80 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
1. 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？
D
C
B
A
25 m
练一练
问题1：连续三个奇数，若第一个数为 x，则后 2 个数为_____________.
x + 2，x + 4
问题2：连续的五个整数，若中间一个数为 n，
其余的为_______________________ .
n + 2，n + 1，n - 1，n - 2
利用一元二次方程解决数字问题
3
问题3：一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，
则这个两位数是 .
10a + b
问题4：一个三位数，百位 x，十位 y，个位 z，表 示为 .
100x + 10y + z
例 两个连续奇数的积为 63，求这两个数.
解：设两个奇数为 x 和 x + 2，
x(x + 2) = 63
解得 x1 = -9，x2 = 7.
x1 + 2 = -7，x2 + 2 = 9.
答：这个两个数为 7、9 或者 -7、 -9.
1.三个连续整数，两两之积的和为 587，求这三个数.
解：设这三个连续整数为 x - 1，x，x + 1，
(x - 1)x + (x - 1)(x + 1) + x(x + 1) = 587
x1 - 1 = 13
x1 + 1 = 15
x2 - 1 = - 15
x2 + 1 = - 13
答：这三个数为 13，14，15 或 -13，-14，-15.
即 3x2 - 588 = 0
解得：x1 = 14，x2 = - 14.
2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原来的两位数之积为 736，求这个两位数.
分析：设原来的两位数个位数字为 x，则十位数字为(5 - x)
十位 个位 两位数
原两位数
新两位数
5 - x
5 - x
x
x
10(5 - x) + x
10x + 5 - x
解：由题意得 [10(5 - x) + x](10x + 5 - x) = 736，
整理得 x2 - 5x + 6 = 0，
解得 x1 = 2，x2 = 3.
答：这个两位数是 23 或 32.
3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 21 次，求参加聚会的人数.
解：设参加聚会的人数有 x 人
解得 x1 = - 6(舍去)，x2 = 7
答：参加聚会的人数为 7 人.
4.一块长方形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5 cm 的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为 x cm，则有长为 2x cm
5(2x - 10)(x - 10) = 3000
解得 x1 = - 10（舍），x2 = 25.
故铁板的长为 2x = 50（cm），
所以铁板的长为 50 cm.，宽为 25 cm.
5. 如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向、竖向彩条的宽度分别为 2x cm、3x cm，则
则
答：横竖条的宽度分别是
解得
∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0，
∴ x＜
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．
这里要特别注意：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．

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