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(共20张PPT)
21.3 实践与探索
第 2 课时 利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题
第21章 一元二次方程
学习目标
1. 能列出关于平均变化率、利润问题的一元二次方程；（重点）
2. 体会一元二次方程在实际生活中的应用；
（重点、难点）
3. 经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？
问题2 生活中还有哪类问题可以用一元二次方程解决？
利用一元二次方程解决平均变化率问题
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问题1 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，两次降价的百分率相同. 求每次降价的百分率.
解：若每次降价的百分率为 x ，则
第一次降价后：56(1 – x) 元
第二次降价后：56(1 – x)(1 – x) 元
解：设每次降价的百分率为 x，根据题意，得
56(1 – x)2 = 31.5.
解这个方程，得
x1 = 0.25，x2 = 1.75.
因为降价的百分率不可能大于 1，所以 x2 = 1.75 不符合题意.
经检验，x = 0.25 =25% 符合本题要求.
答：每次降价的百分率为 25% .
注意
一般下降率不可为负，且不大于 1.
1. 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，某城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生 20 万人次，第三批公益课受益学生 24.2 万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.
解：设增长率为 x，根据题意，得 20(1 + x)2 = 24.2.
解得 x1 = 2.1 (舍去)，x2 = 0.1 = 10%.
答：增长率为 10%.
注意
增长率不可为负，但可以超过 1.
练一练
问题 你能总结出有关增长率和降低率问题的数量关系式吗？
若平均增长(或降低)百分率为 x，增长(或降低)前的量是 a，增长(或降低) n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为
a(1±x)n = b (其中增长取“+”，降低取“-”).
2. 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为 x. 根据题意，得
答：这个增长率为 50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950，
整理方程，得
4x2 + 12x - 7 = 0.
解得
x1 = 3.5 (舍去)，x2 = 0.5 = 50%.
问题2 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率为多少？
分析：翻一番，即为原产值的 2 倍. 若设原产值为 1 个单位，那么两年后的产值就是 2 个单位.
解：设年增长率为x，则可列方程为：
(1 + x)2 = 2
解得 x1 = 1 ≈ 41.4%，x2 = 1 (舍去)
探索 如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5 倍、1.2 倍……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？
(1 + x)2 = 1.5
(1 + x)2 = 1.2
解：设平均年增长率为 x.
解得 x1 = 1 ≈ 22.5%，x2 = 1 (舍去)
解得 x1 = 1 ≈ 9.5%，x2 = 1 (舍去)
又如果第二年的增长率为第一年的 2 倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后的产值翻一番？
(1 + x) (1 + 2x) = 2
解：设第一年的增长率为 x.
解得 x1 = ≈ 28%，x2 = (舍去)
例 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 kg.后来经市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售量可增加 20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利 2240 元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
利用一元二次方程解决利润问题
2
【解析】 (1)设每千克核桃降价 x 元，利用销售量×每件利润＝2240 元列出方程求解即可；
(2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售．
解：（1）设每千克核桃应降价 x 元，根据题意，得
化简，得 x2 - 10x + 24 = 0，
解得 x1 = 4，x2 = 6.
答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
（2）由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，
此时，售价为 60 - 6 = 54 (元)，54÷60 = 90％.
答：该店应按原售价的九折出售.
1.商场某种商品的进价为每件 100 元，当售价定为每件150 元时平均每天可销售 30 件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元(x 为整数)．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加 件，
每件商品盈利 元(用含 x 的代数式表示)；
2x
(50－x)
解：(2)设每件商品降价 x 元时，商场日盈利可达到 2100 元．根据题意，得
(50－x)(30＋2x)＝2 100，
化简，得 x2－35x＋300＝0，
解得 x1＝15，x2＝20.
答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价 15 元或 20 元时，商场日盈利可达到 2 100 元．
(2) 在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？
2.地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款的增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：(1)设捐款增长率为 x，则依题意列方程
10 000(1＋x)2＝12 100，解方程，得
x1＝－2.1(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10％．
答：捐款的增长率为 10％；
(2) 12 100×(1＋10％)＝13 310(元)．
答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款 13 310元．
1. 用一元二次方程解变化率问题
规律：
变化前数量×(1±平均变化率)变化次数＝变化后数量．
注意：
有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解．在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性检验．
2．利润问题
基本关系：(1)利润＝售价－________；
(2)利润率＝ ×100％
(3)总利润＝____________×销量
进价
单个利润

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