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1.1 比例线段
第1章 图形的相似
1.1.1 比例的基本性质
1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）
2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些问题.（难点）
学习目标
如图的 (1) 和 (2) 都是故宫太和殿的照片，(2)是由 (1) 缩小得到的.
【观察与思考】
（1）
（2）
P
Q
P′
Q′
在照片 (1) 中任意取四个点 P，Q，A，B 在照片 (2) 找出对应的两个点 P′，Q′，A′，B′ 量出线段 PQ，P′Q′，AB， A′B′ 的长度.计算它们的长度的比值.
A
A'
B'
B
比例的基本性质
【合作探究】
问题1：如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 . 那么ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc，那么 a，b，c，d 四个数成比例吗？
1
如果四个数 a，b，c，d 成比例，即
那么 ad = bc 吗？
在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc
由此可得到比例的基本性质：
如果 ，那么 ad = bc.
由此可得到比例的基本性质：
如果 ad = bc，那么等式 还成立吗？
在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0.
如果 ad = bc（a,b,c,d 都不等于 0），那么 .
如果
或 a∶b = c∶d，
那么称 a、b、c、d 成比例，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项.
相关概念
(1) 4a = 5b；
(2) ；
(2) 由于 ，因此 8a = 7b，即
解：(1) 由于 4a = 5b，因此由比例的基本性质得，
典例精析
例1 根据下列条件(其中 a，b 为非零实数)，求 的值：
(3)
(3) 由于 ，因此 2(a - b) = b，即 2a = 3b，
从而
例1 已知四个非零实数 a，b，c，d 成比例，即 .
下列各式成立吗？若成立，请说明理由.
(1)
(3)
(2)
典例精析
解：(1) 由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，
因此，由 可以立即得到 .
(3)
(2)
(2) 由 ，ad = bc.
在上式两边同除以 cd，得 .
由此得到
(3) 在 两边都加上 1，得
追问：还能推出 吗
由此得到
在 两边都减去 1，得
例2 已知 ，求 的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
得 2(a + 3b) = 7×2b.
∴a = 4b，∴ = 4.
解法2：由 ，得 .
∴ ,
，那么
、
各等于多少？
2．已知
1．已知线段 a、b、c 满足关系式 ，
且 b＝4，那么 ac＝______．
16
练一练
议一议
(1) 若 a∶b = 1∶2，b∶c = 1∶2，求 a∶b∶c.
(2) 若 a∶b∶c = 2∶3∶4，则 成立吗？
为什么？
解：(1) 将 b∶c = 1∶2 的前后项同乘以 2，得
b∶c = 2∶4，
此时 a∶b = 1∶2，b∶c = 2∶4，
因此 a∶b∶c = 1∶2∶4.
(2) 若 a∶b∶c = 2∶3∶4，则 成立吗？
为什么？
(2) 成立，理由如下：
设 a∶b∶c = 2∶3∶4 的每一份为 k ( k≠0 )，
则 a = 2k，b = 3k，c = 4k.
分别代入计算：
因为
所以 成立.
等比性质
2
例3 已知 ，且 b + d + f ≠ 0，
求 的值.
解 因为
所以
于是
问题2 已知 a，b，c，d，e，f 六个数，如果
(b + d + f ≠ 0)，那么 成立吗？为什么？
设 ，则
a = kb，c = kd，e = kf .
所以
由此可得到比例的又一性质(等比性质)：
例5 若 a,b,c 都是不等于零的数，且
求 k 的值.
得 ，则 k＝2.
当 a＋b＋c＝0 时，则有 a＋b＝－c.
此时 .
综上所述，k 的值是 2 或－1.
解：当 a＋b＋c ≠ 0 时，由 ，
1.(1)已知 ，那么 = ， = .
(3)如果 ，那么 .
(2)如果 ，那么 .
3.已知四个数 a，b，c，d 成比例.
（1）若 a = -3，b = 9，c = 2，求 d；
（2）若 a = -3，b= ，c = 2，求 d.
比例的
性质
如果 那么 ad = bc.
基本
性质
等比
性质
如果 ad = bc（a , b, c, d都不等于 0），
那么

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