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1.2 平行线分线段成比例
第1章 图形的相似
1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；
（重点）
2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.
（难点）
学习目标
【观察与猜想】
下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道:
AD，BE，CF 互相平行，且若 AB = BC，你能猜想出什么结果呢？
a
b
c
DE = EF
D
F
E
平行线等分线段
1
如图，已知直线 a∥b∥c，直线 l1，l2 被直线 a，b，c 截得的线段分别为 AB，BC 和A1B1，B1C1，若 AB = BC，则 A1B1 = B1C1 吗？
b
c
A1
C1
B1
A
C
B
想一想
l1
l2
证一证
b
c
A1
C1
B1
A
C
B
过点 B 作直线 l3∥l2，分别与直线 a，c 相交于点A2，C2. 由于 a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知，
A2B = A1B1 ， BC2 = B1C1.
在△BAA2 和△BCC2 中，
∠ABA2 =∠CBC2，BA = BC，∠BAA2 =∠BCC2，
因此 △BAA2≌△BCC2，
从而 A2B = BC2，
所以 A1B1= B1C1.
A2
C2
l1
l2
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
归纳总结
平行线分线段成比例
2
探 究
在前面“思考”栏目中，若AB≠BC，如图所示，则 与
相等吗？
任意平移直线 c， 与 还会相等吗？
b
c
A1
C1
B1
A
C
B
l1
l2
a
如图，连接 AB1，B1C，BA1，BC1.
b
c
A1
C1
B1
A
C
B
l1
l2
a
由于△ABB1 底边 AB 上的高、△BCB1 底边 BC 上的高、△ACB1 底边 AC 上的高是同一条高线，因而由三角形的面积计算公式可得，它们的面积比等于底边长之比，即
又由于△A1B1B 底边 A1B1 上的高，△B1C1B 底边 B1C1 上的高、△A1C1B 底边A1C1 上的高也相同，则它们的面积比也等于底边长之比，即
b
c
A1
C1
B1
A
C
B
l1
l2
a
由于△ABB1，△A1B1B 是平行线a，b 之间同底等高的两个三角形，因此
由于△BCB1，△B1C1B 是平行线 b，c 之间同底等高的两个三角形，因此
① + ② 得，
即
于是
同理可得：
由此得到以下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
以上基本事实简称为平行线分线段成比例.
符号语言：
若 a∥b∥ c ，则 ， ，
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
归纳总结
1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
想一想：
典例精析
例1 如图，已知 AA1∥BB1∥CC1，AB = 2，BC = 3，A1B1 = 1.5，求 B1C1 的长.
解 由平行线分线段成比例可知，
，即 ，
因此，
A1
C1
B1
A
C
B
1.如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( )
A. B.
C. D.
D
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
练一练
如图，直线 a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中哪些对应成比例的线段？
平行线分线段成比例定理的推论
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
观察与思考
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？
3
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
例2 如图，在△ABC 中，已知 DE∥BC，
求证：
证明 如图，过点 A 作直线 MN，使 MN∥DE.
因为 DE∥BC，所以 MN ∥DE∥BC.
因此，AB，AC 被一组平行线 MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知，
B
C
A
M
N
D
E
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳：
2. 如图，DE∥BC， ，则 ；
FG∥BC， ，则 .
A
B
C
E
D
F
G
练一练
例1 如图，在△ABC 中， EF∥BC.
(1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE = 7，
FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AF = 4.
典例精析
(2) 如果AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AC = .
∴ FC = AC－AF = .
3. 如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则
AC = ；FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = .
A
B
C
E
D
F
G
7.5
6
练一练
例2 如图：在 △ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC、EF∥AB. 若 AD = 2BD，
A
B
C
D
E
F
求证： ，且 的值.
证明：∵ DE∥BC，EF∥AB，
又 AD = 2BD，
1. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE = 2 cm，BE = 6 cm，BC = 4 cm，EF 长 ( )
A
A. 1 cm B. cm
C. 3 cm D. 2 cm
A
B
C
E
F
A
B
C
E
D
2.填空题：
如图：DE∥BC，
已知：
则 .
3.在△ABC 中，ED∥AB，若 ，
则 ， .
C
A
B
D
E
4. 如图，已知菱形 ABCD 内接于 △AEF，AE = 5 cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴ CD∥AB，
∴
设菱形的边长为 x cm，
则 CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm，
∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm.
5.如图，AB = AC，AD⊥BC 于点 D，M 是AD 的中点，CM 交 AB 于点 P，DN∥CP.
（1）若 AB = 6 cm，求 AP 的长；
（2）若 PM = 1 cm，求 PC 的长.
A
C
D
B
M
N
P
解：(1)∵AB = AC，AD⊥BC 于点 D，M 是 AD 的中点，∴DB = DC，AM = MD.
∵DN ∥CP，
又∵AB = 6 cm，
∴ AP = 2 cm.
（2）若 PM = 1 cm，求 PC 的长.
∵ DN∥CP，
又∵ PM = 1 cm，
∴ PC = 2ND = 4PM = 4 cm.
解：由（1）知 AP = PN =NB，
A
C
D
B
M
N
P
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例
基本事实
平行线分线段成比例

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