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1.4 相似三角形的判定
第1章 图形的相似
第1课时 利用平行判定三角形相似
1. 理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；
（重点）
2. 会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
(难点)
学习目标
我们就说 △ABC 与 △A′B′C′______，记作__________________，△ABC 与 △A′B′C′ 相似比是 k，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是____.
在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，如果∠A = ∠A′， ∠B = ∠B′，∠C = ∠C′，
△ABC∽△A′B′C′
相似
反之如果 △ABC∽△A′B′C′，则有∠A =_____，
∠B =_____，∠C =____，且
∠A′
∠B′
∠C′
A
B
C
C'
B'
A'
相似三角形定义判定
1
D
E
A
B
C
如图，在△ABC 中，已知 D，E 分别是边 AB，AC 的中点. 试判断△ADE 与△ABC 是否相似，并说明理由.
议一议
D
E
A
B
C
由于 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，根据三角形的中位线定理得 DE∥BC，且 DE＝ BC，从而有
∠ADE =∠B，∠AED = ∠C，
又∠DAE =∠BAC，
对于△ADE 与△ABC，由相似三角形的定义得△ADE∽△ABC.
判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．
方法总结
例1 △ABC 与 △DEF 的各角度数和边长如图所示，则 △ABC 与 △DEF 能否相似？说明理由．
解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.
因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.
所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.
典例精析
∴ △ABC∽△DFE.
平行线与相似三角形
2
思 考
D
E
A
B
C
如图，在△ABC 中，D 为 AB上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E. △ADE 与△ABC 是否相似？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗
猜测：只要 DE∥BC，就有△ADE∽△ABC.
在△ADE 与△ABC 中，∠DAE = ∠BAC.
因为 DE∥BC，
所以∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB，
过 D 作 DF∥AC，交 BC 于 F.
F
证一证
已知△ABC，过边 AB 上一点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E，如图所示.
D
E
A
B
C
由于 DE∥BC，DF∥AC，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”得，
因为四边形 CFDE 为平行四边形，
所以 CF = DE.
于是
综上所述，根据相似三角形的定义得△ADE∽△ABC.
F
D
E
A
B
C
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
“A”型
“X”型
（图3）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
“A”型
A
D
E
B
C
（图2）
知识要点
例2 如图，点 D 作为△ABC 的边 AB 的中点，过点 D 作DE∥BC，交边 AC 于点 E.延长 DE 至点 F，使EF = DE.求证：△CFE∽△ABC．
证明 由于DE∥BC，于是△ADE∽△ABC，
A
E
D
B
C
F
又 D 为△ABC 的边 AB 的中点，则
于是 ，则 E 为边 AC 的中点，
从而
即 AE = CE.
A
E
D
B
C
F
又∠AED = ∠CEF，DE = EF，
所以△ADE≌△CFE.
而△ADE∽△ABC.
因此△CFE∽△ABC.
例3 已知如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5 m 处，已知窗户 AB 高为 2 m，B 点距地面高为 1.2 m，求下檐光线的落地点 N 与窗户的距离 NC.
解：∵AM∥BN，∴△NBC∽△MAC，
如图，在 △ABC 中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果 AD = 1，DB = 3，那么 DG∶BC =_____.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1∶4
练一练
2.若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为 AB = 3 cm，A′B′ = 4 cm，那么 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是 .
3.若 △ABC 的三条边长分别为 3 cm、5 cm、6 cm，与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为 12 cm，那么
△A′B′C′ 的最大边长是________.
1.如果两个三角形的相似比为 1，那么这两个三角形_____.
全等
4︰3
24 cm
4.已知 △ABC 的三条边长 3 cm，4 cm，5 cm，△ABC∽△A1B1C1，那么 △A1B1C1 的形状是__________，又知 △A1B1C1 的最大边长为 25 cm，那么 △A1B1C1 的面积为________.
直角三角形
150 cm2
5.若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，∠A = 55°，∠B = 100°，那么 ∠C′ 的度数是（ ）
A. 55° B. 100° C. 25° D. 不能确定
C
6.把 △ABC 的各边分别扩大为原来的 3 倍，得到 △A′B′C′，下列结论不能成立的是（ ）
A. △ABC∽△A′B′C′ .
B. △ABC与 △A′B′C′ 的各对应角相等.
C. △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 .
D. △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 .
C
2. 当相似比等于 1 时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；
3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.
1. 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比；

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