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1.3 相似图形
第1章 图形的相似
问题1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？
问题2 哆啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？
下面图形有什么相同和不同的地方？
相似图形
【观察与思考】
1
相同点：形状相同
不同点：大小不相同
直观上，把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似的.
归纳：
图形的放大
在两个大小不相等的相似图形中，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
图形的缩小
两个图形相似
图形的缩小
归纳：
直观上把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似图形.
你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？
思考：
放大镜下的图形和原来的图形相似吗？
【练一练】
放大镜下的角与原图
形中角是什么关系
相似三角形
2
数学上，把三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形.
知识要点
A
B
C
C'
B'
A'
如果△ABC 与△ A'B'C' 相似，且点 A'，B'，C' 分别与点 A，B，C 对应，那么记作：
△ABC∽△ A'B'C'
其中，符号 “∽” 表示相似，读作“相似于”.
注意：
表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，
相似三角形具有如下性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形对应边的比叫作相似比.
A
B
C
C'
B'
A'
例如，若△ABC∽△A'B'C'，则
对应边的比值 k 就是相似三角形△ABC 与△A'B'C' 的相似比.
议一议
(1) 任意两个直角三角形相似吗？任意两个等边三角形呢？
由相似三角形的定义可知，任意两个直角三角形不一定相似，但任意两个等边三角形一定相似.
(2) 相似三角形与全等三角形有什么区别与联系？
若△ABC∽△ A'B'C' 且相似比 k = 1，
△ABC≌△A'B'C'.
因此，全等三角形是相似三角形的特例.
提示
如果△ABC∽△A'B'C'，且△A'B'C'∽△A"B"C"，那么△ABC∽△A"B"C".
如果△ABC≌△A'B'C'，△A'B'C'∽△A"B"C"，那么△ABC∽△A"B"C".
相似具有传递性
例1 已知△ABC∽△ A'B'C'，且∠A = 48°，AB = 8，A'B' = 4，AC = 6. 如图所示，求∠A' 的大小和 A'C' 的长.
A
B
C
A'
B'
C'
解： 因为 △ABC∽△A'B'C' ，
由于∠A = 48°，因此∠A′ = 48°
又AB = 8，A'B' = 4，AC = 6，
所以 A'C' = 3.
典例精析
所以
于是
1. 如图，已知 △ABC∽△ADE，AE＝50 cm，EC＝30 cm，BC＝58 cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
(1) ∠AED 和 ∠ADE 的度数；(2) DE 的长．
解：(1)∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠ACB＝40°.
在 △ADE 中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°.
(2) ∵△ABC∽△ADE.
∴ DE＝36.25 cm.
练一练
当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．
方法总结
相似多边形与相似比
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.
【观察与思考】
3
问题1 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？
问题2 在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否对应成比例？
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫作相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的特征：
相似多边形的定义：
归纳：
相似多边形用符号“∽”表示，读作“相似于”
【议一议】任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？
a1
a2
a3
an
…
分析：已知等边三角形的每个角都为 60°，三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.
同理，任意两个正方形都相似.
归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.
…
a1
a2
a3
an
思考：
任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？
例2 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x.
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
典例精析
在四边形 ABCD 中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，
∴ 它们的对应角相等．由此可得
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，∴它们的对应边成比例，由此可得
解得 x＝28 cm.
，即 .
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
1.如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度．
5
3
2
c
d
7.5
b
a
6
9
解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
解得 a = 3，b = 4.5，c = 4，d = 6.
所以未知边 a，b，c，d 的长度分别为 3，4.5，4，6.
， ， ， ，
练一练
1. 下列图形中能够确定相似的是( )
A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形
C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形
E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形
ABDF
2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得
甲、乙两地的距离是 5 cm，则甲、乙两地的实际
距离是( )
A. 3000 m B. 3500 m
C. 5000 m D. 7500 m
D
3. 如图所示的两个四边形是否相似？
答案：不相似.
4. 观察下面的图形 (a)~(g)，其中哪些是与图形 (1)、
(2) 或 (3) 相似的？
5. 填空：
(1) 如图 ① 是两个相似的四边
形，则 x = ，y = ，
α = ；
(2) 如图 ② 是两个相似的矩形，
x= .
╰
65°
╯
80°
α
╭
6
125°
╯
80°
╮
3
x
y
图①
3
5
30
20
15
x
图②
2.5
1.5
90°
22.5
6. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1．
(1) 求 BC 长；
A
B
C
D
E
F
解：∵ E 是 AD 的中点，
∴ .
又∵矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1，
∴ ，
即 AB2 = AE·BC.
∴ .
解得
(2) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比.
A
B
C
D
E
F
解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD
的相似比为：
相似图形
相似三角形
概念
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
相似多边形
概念
性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例
相似比：相似图形对应边的比叫做相似比

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