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1.4 相似三角形的判定
第1章 图形的相似
第3课时 相似三角形的判定定理2
学习目标
1.掌握相似三角形的判定定理 2；（重点）
2.能熟练运用相似三角形的判定定理 2．（难点）
问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
如图，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A' = ∠A，
△A'B'C 与△ABC 相似吗？为什么
(常数).
思 考
由此猜测：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
证明：在△A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，
使 A′D = AB. 过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
因为 DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
从而
证一证
于是 A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
所以 △A′DE≌△ABC.
因此 △ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
又 A′D = AB，
因此
相似三角形的判定定理2.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
知识要点
对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB = A′C′ : AC. ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例1 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F = 70°，
AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm.
求证：△ABC∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
证明 因为 AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
因此△ABC∽△DEF(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
所以
所以
又∠C =∠F = 70°，
典例精析
证明： 因为 CD 是边 AB 上的高，
所以 ∠ADC =∠CDB = 90°.
所以∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠CBD +∠BCD = 90°.
例2 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 . 求证 ∠ACB = 90°．
A
B
C
D
又
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
因此△ACD∽△CBD.
从而∠ACD = ∠CBD.
1. 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm，
∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC∽△A′B′C′.
练一练
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD = AE，AB = AC，
∴
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC∽△ADE.
A
B
C
D
E
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
解：∵ AE = 1.5，AC = 2，
例3 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点，
AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD =∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 ( )
×
√
√
×
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA 的条件是 ( )
A. AC : BC = AD : BD
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或
“不相似”) .
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
相似
A
B
C
D
P
P
4. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度
为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
4 或 9
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ，
∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，
∴
又∵∠B =∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA.
∴ .
∴
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB·AD = AE·AC，求证：△ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB·AD = AE·AC，
∴
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
又∵∠DAB =∠CAE，
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理 2 的运用

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