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2.3 解直角三角形
第2章 锐角的正弦、余弦、正切
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系：a2 + b2 =_____；
(2) 锐角之间的关系：
∠A +∠B =_____；
(3) 边角之间的关系：sin A =_____，cos A =_____，
tan A =_____.
如图，在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C = 90°.
c2
90°
已知两边解直角三角形
在图中的 Rt△ABC 中，
(1) 根据∠A = 75°，斜边 AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
【合作探究】
A
B
C
6
75°
1
(2) 根据 AC = 2.4，AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
2.4
在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边），就可以求出其余的 3 个未知元素.
像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
A
B
C
解：
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = ，
，解这个直角三角形.
典例精析
1. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 30，b = 20，解此直角三角形.
解：根据勾股定理得
A
B
C
b = 20
a = 30
c
练一练
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，
a = 5，求∠B，b，c.
B
A
C
a
c
b
30°
解 ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.
因为
所以
因为
所以
已知一边及一锐角解直角三角形
2
提示：作 CD⊥AB 于点 D，根据三角函数的定义，在 Rt△ACD 和 Rt△CDB 中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而得解．
练一练
2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
D
2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
在 Rt△CDB 中，∠DCB =∠ACB－∠ACD = 45°，
解：如图，作 CD⊥AB 于点 D.
在 Rt△ACD 中，∵∠A = 30°，∴∠ACD = 90° - ∠A = 60°，
∴ BD = CD = 2.
D
在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.
已知一锐角三角函数值解直角三角形
例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，
BC = 5， 试求 AB 的长.
A
C
B
解：
设
3
3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则
AB 的长为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
D
4. 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC = 4，
sin B = ，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20
C．40 D．28
C
练一练
提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.
例 4 在△ABC 中，AB = ，AC = 13，cosB = ，求 BC 的长.
解：∵cosB = ，∴∠B = 45°.
当△ABC 为钝角三角形时，如图①.
∵AC = 13，∴由勾股定理得 CD = 5.
∴BC = BD - CD = 12 - 5 = 7.
图①
当△ABC 为锐角三角形时，如图②，
此时 BC = BD + CD = 12 + 5 = 17.
综上可知，BC 的长为 7 或 17.
图②
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，
AB = 8，则 BC 的长是 ( )
D
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，
∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b = a · tan A B. b = c · sin A
C. b = c · cos A D. a = c · cos A
A
C
B

C
3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 37°，BC = 32，
则 AC = ( 参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈
0.80，tan37° ≈ 0.75 ).
4. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3，
cosB = ，则 AC 的长为 .
24
3.75
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，角平分
线 ，解这个直角三角形.
解：
∵ AD 平分∠BAC，
D
A
B
C
6
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
在△ACD 中，∠C = 45°，AC = 2，
∴ CD = AD = sin C · AC = 2sin 45° = .
在△ABD 中，∠B = 30°，
∴ BD =
∴ BC = CD + BD =
6. 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，AC = 2，
求 BC 的长.
D
A
B
C
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边长），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数

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