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第3课时　自由落体与竖直上抛运动　多过程问题
[学习目标]　1．掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。2．能灵活处理多过程问题。
一、自由落体运动
1．定义：物体只在________作用下从________开始下落的运动。
2．运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的____________运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝________。
(2)位移与时间的关系式：h＝________。
(3)速度与位移的关系式：v2＝________。
4．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过________的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。
(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和________(包括数学演算)和谐地结合起来。
二、竖直上抛运动
1．运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做________运动。
2．运动性质：________直线运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：________。
(2)位移与时间的关系式：____________。
1．易错易混辨析
(1)伽利略从理论和实验两个角度证明轻、重物体下落一样快。 (　　)
(2)做自由落体运动的物体，下落的高度与时间成正比。 (　　)
(3)做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。 (　　)
(4)竖直上抛运动最高点速度为零而加速度不为零。 (　　)
(5)竖直上抛运动的上升阶段速度变化量的方向是向下的。 (　　)
2．(人教版必修第一册习题改编)有一种“傻瓜”照相机，其光圈(进光孔径)随被摄物体的亮度自动调节，而快门(曝光时间)是固定不变的。为估测某架“傻瓜”照相机的曝光时间，实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下，拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上2.5 m的高度下落，每块砖的平均厚度为6 cm，g取10 m/s2，请估算这架照相机的曝光时间(　　)
A．0.01 s B．0.02 s
C．0.1 s D．0.2 s
3．(人教版必修第一册习题改编)同学们利用如图所示方法估测反应时间。首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度读数为x，则乙同学的反应时间为________(重力加速度为g)。
基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若测量范围为0～0.4 s，则所用直尺的长度至少为________ cm(g取10 m/s2)；若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则每个时间间隔在直尺上对应的长度是________(选填“相等”或“不相等”)的。
自由落体运动
1．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，可利用比例关系及推论等规律解题。
(1)从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
(2)Δv＝gΔt。相等时间内，速度变化量相同。
(3)连续相等时间T内下落的高度差Δh＝gT2。
2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
3．自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。
[典例1]　(2024·广西卷)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A．v1＝5 m/s B．v1＝10 m/s
C．v2＝15 m/s D．v2＝30 m/s
[典例2]　(多选)从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是(　　)
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球速度差恒定
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
竖直上抛运动
1．竖直上抛运动的重要特性
(1)对称性：如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点。
①时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tAB＝tBA。
②速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。
(2)多解性：在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下落阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解，也可能造成路程多解。
2．竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全过程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法：将全过程视为初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
[典例3]　(2025·辽宁本溪一模)中国最高的喷泉是位于湖南省长沙市梅溪湖国际文化艺术中心附近的梅溪湖音乐喷泉，这个喷泉喷水高度可达200米左右。梅溪湖音乐喷泉结合了音乐、灯光和水柱的表演，成了当地的一个著名景点，吸引了大量游客前来观赏。如果某时刻喷泉喷出的高度为180 m，重力加速度g取10 m/s2，则水离开喷头的初速度大小约为(　　)
A．18 m/s B．36 m/s
C．60 m/s D．180 m/s
[典例4]　(多选)一物体做竖直上抛运动(不计空气阻力)，初速度为30 m/s，当它的位移大小为25 m时，经历时间可能为(g取10 m/s2)(　　)
A．1 s B．2 s
C．3 s D．5 s
[典例5]　(一题多解)气球以10 m/s的速度沿竖直方向匀速上升，当它上升到离地175 m的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取10 m/s2，不计空气阻力)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
多过程问题
1．问题特点
一个物体的运动包含几个阶段，各阶段的运动满足不同的运动性质和规律，交接处的速度是连接各段的纽带。
2．求解思路
(1)由题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程。
[典例6]　某跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开悬停的直升机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时开始打开降落伞，到达地面时速度减为5 m/s。如果认为从开始打开降落伞至落地前运动员在做匀减速运动，加速度大小为a＝8 m/s2，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)运动员打开降落伞时的速度大小；
(2)运动员离开直升机时距离地面的高度。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[典例7]　(人教版必修第一册习题改编)如图所示是汽车分别通过ETC(电子不停车收费系统)通道和人工收费通道的流程，假设汽车以v1＝12 m/s的速度朝收费站沿直线行驶，如果走ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝10 m处正好匀减速至v2＝4 m/s, 匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果走人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至0，经过t0＝20 s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶。设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1 m/s2。求：
(1)汽车走ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
(2)汽车走人工收费通道时，应在离收费站中心线多远处开始减速；
(3)汽车走ETC通道与走人工收费通道相比节约的时间。
思路点拨：画出运动过程示意图
(1)走ETC通道时经历三个运动阶段：
(2)走人工收费通道经历三个运动阶段：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第3课时　自由落体与竖直上抛运动　多过程问题
回归教材·双基过关
知识梳理·体系构建
一、1．重力　静止
2．匀加速直线
3．(1)gt　(2)gt2　(3)2gh
4．(1)逻辑推理　(2)逻辑推理
二、1．自由落体
2．匀变速
3．(1)vv0－gt　(2)xv0t－gt2
技能激活·易错攻坚
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
2．B　[解法一(公式法)：题图中AB的实际长度为AB0.12 m，A到地面的高度h18.5×6 cm0.51 m，B到地面的高度h26.5×6 cm0.39 m，设开始下落点为O，则hOAH－h11.99 m，hOBH－h22.11 m。由hOA得t1≈0.63 s，由hOB得t2≈0.65 s。曝光时间约为Δtt2－t10.02 s，故B正确。
解法二(估算法)：石子做自由落体运动，到A点时下落的高度hOA1.99 m，速度为v≈6.3 m/s。因为0.12 m远小于1.99 m，故可以近似地将AB段的运动当作匀速直线运动，故曝光时间约为t≈0.02 s，故B正确。]
3．解析：由自由落体运动知识可知，xgt2，则t。根据最长反应时间为0.4 s，可得直尺的最小长度为80 cm。由于自由落体运动是匀变速直线运动，所以相等时间内位移不相等，即直尺上对应的长度不相等。
答案：　80　不相等
考点深研·题型突破
考点1
典例1　B　[重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1 s后速度为v1v2gt10×1 m/s10 m/s，故选B。]
典例2　BC　[b球下落高度为20 m时，t1 s2 s，此时a球下落了3 s，a球的速度大小为vg(t1＋1 s)30 m/s，故A错误；a球下落的总时间为t2 s5 s，此时b球下落了4 s，b球的下落高度为h'×10×42 m80 m，故b球离地面的高度为hb(125－80) m45 m，故B正确；由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误。]
考点2
典例3　C　[根据竖直上抛运动的规律有2gh，可得v0 m/s60 m/s，故选C。]
典例4　AD　[取竖直向上为正方向，由匀变速直线运动规律有xv0t－gt2，当x25 m时，代入数据有t2－6t＋50，可得t1 s或t5 s；当x－25 m时，代入数据有t2－6t－50，可得t(3＋) s(负解舍去)，A、D正确，B、C错误。]
典例5　解析：解法一(全程法)
取全过程进行研究，设从重物自气球上掉落开始计时，经时间t落地，以初速度方向为正方向，画出运动过程草图，如图所示
重物在时间t内的位移
x－h－175 m
根据匀变速直线运动规律有
xv0t－gt2
解得t7 s(另一解t－5 s舍去)
所以重物落地时速度为vv0－gt－60 m/s
其中负号表示方向竖直向下，与初速度方向相反。
解法二(分段法)
设重物刚从气球上掉落时离地的高度为h，重物离开气球后，经过t1时间上升到最高点，上升的最大高度为h1，重物离地面的最大高度为H，则
t1
h1
Hh1＋h
重物从最高处自由下落，设落地用时t2，落地速度大小为v'，则有
H
v'gt2
则重物从气球上掉落到落地的时间为tt1＋t2
联立解得t7 s，v'60 m/s。
答案：7 s　60 m/s
考点3
典例6　解析：(1)设运动员距离地面h125 m时的速度大小为v0，到达地面时的速度大小为v，在匀减速阶段，有v2－－2ah
代入数据解得v045 m/s。
(2)设打开降落伞之前，运动员自由落体下落的高度为h1，则有－02gh1
运动员离开直升机时距离地面的高度Hh1＋h
联立并代入数据解得H226.25 m。
答案：(1)45 m/s　(2)226.25 m
典例7　解析：(1)走ETC通道时，匀减速的位移和匀加速的位移相等，则x164 m
故总的位移x总12x1＋d138 m。
(2)走人工收费通道时，开始匀减速时离中心线的距离为x272 m。
(3)走ETC通道时，汽车从开始匀减速到匀加速到v1的时间t118.5 s
走人工收费通道时，汽车从开始匀减速到匀加速到v1的时间t2×2＋t044 s
又x总22x2144 m
二者的位移差Δxx总2－x总16 m
在这段位移内汽车以正常行驶速度做匀速直线运动，则Δtt2－25 s。
答案：(1)138 m　(2)72 m　(3)25 s
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第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究
第3课时　自由落体与竖直上抛运动　多过程问题
[学习目标]　1．掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。2．能灵活处理多过程问题。
回归教材 · 双基过关
一、自由落体运动
1．定义：物体只在________作用下从________开始下落的运动。
2．运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的____________运动。
重力
静止
匀加速直线
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝________。
(2)位移与时间的关系式：h＝________。
(3)速度与位移的关系式：v2＝________。
gt
gt2
2gh
4．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过________的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。
(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和________(包括数学演算)和谐地结合起来。
逻辑推理
逻辑推理
二、竖直上抛运动
1．运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做________运动。
2．运动性质：________直线运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：___________。
(2)位移与时间的关系式：____________。
自由落体
匀变速
v＝v0－gt
x＝v0t－gt2
1．易错易混辨析
(1)伽利略从理论和实验两个角度证明轻、重物体下落一样快。 (　　)
(2)做自由落体运动的物体，下落的高度与时间成正比。 (　　)
(3)做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。 (　　)
(4)竖直上抛运动最高点速度为零而加速度不为零。 (　　)
(5)竖直上抛运动的上升阶段速度变化量的方向是向下的。 (　　)
√
×
√
√
√
2．(人教版必修第一册习题改编)有一种“傻瓜”照相机，其光圈(进光孔径)随被摄物体的亮度自动调节，而快门(曝光时间)是固定不变的。为估测某架“傻瓜”照相机的曝光时间，实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下，拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上2.5 m的高度下落，每块砖的平均厚度为6 cm，g取10 m/s2，请估算这架照相机的曝光时间(　　)
A．0.01 s B．0.02 s
C．0.1 s D．0.2 s
√
B　[解法一(公式法)：题图中AB的实际长度为AB＝0.12 m，A到地面的高度h1＝8.5×6 cm＝0.51 m，B到地面的高度h2＝6.5×6 cm＝0.39 m，设开始下落点为O，则hOA＝H－h1＝1.99 m，hOB＝H－h2＝2.11 m。由hOA＝得t1≈0.63 s，由hOB＝得t2≈0.65 s。曝光时间约为Δt＝t2－t1＝0.02 s，故B正确。
解法二(估算法)：石子做自由落体运动，到A点时下落的高度hOA＝1.99 m，速度为v＝≈6.3 m/s。因为0.12 m远小于1.99 m，故可以近似地将AB段的运动当作匀速直线运动，故曝光时间约为t＝≈0.02 s，故B正确。]
3．(人教版必修第一册习题改编)同学们利用如图所示方法估测反应时间。首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度读数为x，则乙同学的反应时间为
________(重力加速度为g)。
基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若测量范围为0～0.4 s，则所用直尺的长度至少为________ cm(g取10 m/s2)；若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则每个时间间隔在直尺上对应的长度是________(选填“相等”或“不相等”)的。
80
不相等
[解析]　由自由落体运动知识可知，x＝gt2，则t＝。根据最长反应时间为0.4 s，可得直尺的最小长度为80 cm。由于自由落体运动是匀变速直线运动，所以相等时间内位移不相等，即直尺上对应的长度不相等。
考点深研 · 题型突破
1．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，可利用比例关系及推论等规律解题。
(1)从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
(2)Δv＝gΔt。相等时间内，速度变化量相同。
(3)连续相等时间T内下落的高度差Δh＝gT2。
自由落体运动
2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
3．自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。
[典例1]　(2024·广西卷)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A．v1＝5 m/s B．v1＝10 m/s
C．v2＝15 m/s D．v2＝30 m/s
√
B　[重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1 s后速度为v1＝v2＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，故选B。]
[典例2]　(多选)从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是(　　)
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球速度差恒定
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
√
√
BC　[b球下落高度为20 m时，t1＝＝ s＝2 s，此时a球下落了3 s，a球的速度大小为v＝g(t1＋1 s)＝30 m/s，故A错误；a球下落的总时间为t2＝ s＝5 s，此时b球下落了4 s，b球的下落高度为h′＝×10×42 m＝80 m，故b球离地面的高度为hb＝(125－80) m＝45 m，故B正确；由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误。]
1．竖直上抛运动的重要特性
(1)对称性：如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点。
竖直上抛运动
①时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tAB＝tBA。
②速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。
(2)多解性：在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下落阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解，也可能造成路程多解。
2．竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全过程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法：将全过程视为初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
[典例3]　(2025·辽宁本溪一模)中国最高的喷泉是位于湖南省长沙市梅溪湖国际文化艺术中心附近的梅溪湖音乐喷泉，这个喷泉喷水高度可达200米左右。梅溪湖音乐喷泉结合了音乐、灯光和水柱的表演，成了当地的一个著名景点，吸引了大量游客前来观赏。如果某时刻喷泉喷出的高度为180 m，重力加速度g取10 m/s2，则水离开喷头的初速度大小约为(　　)
A．18 m/s B．36 m/s
C．60 m/s D．180 m/s
√
C　[根据竖直上抛运动的规律有＝2gh，可得v0＝＝ m/s＝60 m/s，故选C。]
[典例4]　(多选)一物体做竖直上抛运动(不计空气阻力)，初速度为30 m/s，当它的位移大小为25 m时，经历时间可能为(g取10 m/s2)(　　)
A．1 s B．2 s
C．3 s D．5 s
√
√
AD　[取竖直向上为正方向，由匀变速直线运动规律有x＝v0t－gt2，当x＝25 m时，代入数据有t2－6t＋5＝0，可得t＝1 s或t＝5 s；当x＝－25 m时，代入数据有t2－6t－5＝0，可得t＝(3＋) s(负解舍去)，A、D正确，B、C错误。]
[典例5]　(一题多解)气球以10 m/s的速度沿竖直方向匀速上升，当它上升到离地175 m的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取
10 m/s2，不计空气阻力)
[解析]　解法一(全程法)
取全过程进行研究，设从重物自气球上掉落开始计时，经时间t落地，以初速度方向为正方向，画出运动过程草图，如图所示
重物在时间t内的位移
x＝－h＝－175 m
根据匀变速直线运动规律有
x＝v0t－gt2
解得t＝7 s(另一解t＝－5 s舍去)
所以重物落地时速度为v＝v0－gt＝－60 m/s
其中负号表示方向竖直向下，与初速度方向相反。
解法二(分段法)
设重物刚从气球上掉落时离地的高度为h，重物离开气球后，经过t1时间上升到最高点，上升的最大高度为h1，重物离地面的最大高度为H，则
t1＝
h1＝
H＝h1＋h
重物从最高处自由下落，设落地用时t2，落地速度大小为v′，则有
H＝
v′＝gt2
则重物从气球上掉落到落地的时间为t＝t1＋t2
联立解得t＝7 s，v′＝60 m/s。
[答案]　7 s　60 m/s
1．问题特点
一个物体的运动包含几个阶段，各阶段的运动满足不同的运动性质和规律，交接处的速度是连接各段的纽带。
2．求解思路
(1)由题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程。
多过程问题
[典例6]　某跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开悬停的直升机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时开始打开降落伞，到达地面时速度减为5 m/s。如果认为从开始打开降落伞至落地前运动员在做匀减速运动，加速度大小为a＝8 m/s2，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)运动员打开降落伞时的速度大小；
(2)运动员离开直升机时距离地面的高度。
[解析]　(1)设运动员距离地面h＝125 m时的速度大小为v0，到达地面时的速度大小为v，在匀减速阶段，有＝－2ah
代入数据解得v0＝45 m/s。
(2)设打开降落伞之前，运动员自由落体下落的高度为h1，则有－0＝2gh1
运动员离开直升机时距离地面的高度H＝h1＋h
联立并代入数据解得H＝226.25 m。
[答案]　(1)45 m/s　(2)226.25 m
[典例7]　(人教版必修第一册习题改编)如图所示是汽车分别通过ETC(电子不停车收费系统)通道和人工收费通道的流程，假设汽车以v1＝12 m/s的速度朝收费站沿直线行驶，如果走ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝10 m处正好匀减速至v2＝4 m/s, 匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果走人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至0，经过t0＝20 s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶。设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1 m/s2。求：
(1)汽车走ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
(2)汽车走人工收费通道时，应在离收费站中心线多远处开始减速；
(3)汽车走ETC通道与走人工收费通道相比节约的时间。
[解析]　(1)走ETC通道时，匀减速的位移和匀加速的位移相等，则x1＝＝
64 m
故总的位移x总1＝2x1＋d＝138 m。
(2)走人工收费通道时，开始匀减速时离中心线的距离为x2＝＝72 m。
(3)走ETC通道时，汽车从开始匀减速到匀加速到v1的时间t1＝×2＋＝18.5 s
走人工收费通道时，汽车从开始匀减速到匀加速到v1的时间t2＝×2＋t0＝44 s
又x总2＝2x2＝144 m
二者的位移差Δx＝x总2－x总1＝6 m
在这段位移内汽车以正常行驶速度做匀速直线运动，则Δt＝t2－＝25 s。
[答案]　(1)138 m　(2)72 m　(3)25 s
思路点拨：画出运动过程示意图
(1)走ETC通道时经历三个运动阶段：
(2)走人工收费通道经历三个运动阶段：
[教师备选资源]
城市高层建筑越来越多，高空坠物事件时有发生。假设某公路边的高楼距地面高H＝47 m，往外凸起的阳台上的花盆因受到扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动。阳台下方有一辆长L1＝8 m、高h＝2 m的货车，以v0＝9 m/s的速度匀速直行，要经过阳台的正下方。花盆刚开始下落时货车车头距花盆的水平距离为L2＝24 m (示意图如图所示，花盆可视为质点，取重力加速度g＝10 m/s2)。
(1)若司机没有发现花盆掉落，货车保持速度v0匀速直行，请计算说明货车是否被花盆砸到；
(2)若司机发现花盆掉落，采取制动(可视为匀变速，司机反应时间Δt＝1 s)的方式来避险，使货车在花盆砸落点前停下，求货车的最小加速度；
(3)若司机发现花盆掉落，采取加速(可视为匀变速，司机反应时间Δt＝1 s)的方式来避险，则货车至少以多大的加速度加速运动才能避免被花盆砸到？
[解析]　(1)花盆从落下到达车顶的过程，
位移为h0＝(47－2)m＝45 m
花盆做自由落体运动，有h0＝gt2，解得t＝3 s
在这段时间内货车位移大小为x＝v0t＝27 m
由于L2(2)货车匀减速运动的距离为L2－v0Δt＝15 m
设制动过程中最小加速度为a0，
由＝2a0(L2－v0Δt)，解得a0＝2.7 m/s2。
(3)司机反应时间内货车的位移大小为x1＝v0Δt＝9 m
此时车头离花盆的水平距离为d＝L2－x1＝15 m
要成功避险，采取加速方式，
则加速运动的位移大小至少为x2＝d＋L1＝23 m，加速时间为t′＝t－Δt＝2 s
设货车加速度大小至少为a才能避免被花盆砸到，则有x2＝v0t′＋at′2
代入数据解得a＝2.5 m/s2，
即货车至少以2.5 m/s2的加速度加速运动才能避免被花盆砸到。
[答案]　(1)见解析　(2)2.7 m/s2　(3)2.5 m/s2
说明：第1～7题，每小题4分；第8～10题，每小题5分；本试卷共55分。
课时数智作业(三)　自由落体与竖直上抛运动　多过程问题
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．关于自由落体运动的加速度g，下列说法中正确的是(　　)
A．质量大的物体的g值大
B．g值在地球上任何地方都一样大
C．同一地点，不同物体的g值一样大
D．g值在赤道处大于在北极处
C　[地球上同一地点的重力加速度相等，与物体的质量无关，故A错误，C正确；在地球上两极的重力加速度大于赤道处的重力加速度，故B、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2．对于自由落体运动(g取10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B．在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D．在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；在相邻两个1 s内的位移之差都是Δx＝gT2＝10 m，故B正确；在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
3．(2025·北京门头沟一模)跳水运动员保持直立状态，双脚朝下由静止开始下落。开始时双脚距离水面5 m。下列说法正确的是(　　)
A．运动员在空中运动的时间约为2 s
B．运动员在空中运动的时间约为1 s
C．运动员入水时速度大小约为5 m/s
D．运动员入水时速度大小约为1 m/s
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[根据位移时间关系h＝gt2，g取10 m/s2，代入数据解得运动员在空中运动的时间t＝1 s，故B正确，A错误；运动员入水时速度大小v＝gt，代入数据可得运动员入水时速度大小v＝10 m/s，故C、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
4．(2025·河北秦皇岛一模)一同学为了估测某建筑物的高度，由楼顶静止释放一物体，测得物体落地前1 s内下落的高度为95 m，重力加速度g取10 m/s2，则该建筑物的高度约为(　　)
A．450 m B．500 m
C．550 m D．600 m
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[设物体下落的时间为t，则测得物体落地前1 s内下落的高度为Δh＝gt2－g(t－1)2＝95 m，解得t＝10 s，则该建筑物的高度约为h＝＝×10×102 m＝500 m，故选B。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
5．(2025·江苏苏州市调研)以8 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，则小树高约为(　　)
A．0.8 m B．1.6 m
C．2.4 m D．3.2 m
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[石子竖直上升的最大高度为H＝＝3.2 m，由题意可知，石子从最高点运动到小树顶端的时间为t1＝＝0.4 s，则最高点到小树顶端的距离为h1＝＝0.8 m，则小树高约为h＝H－h1＝2.4 m，故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
6．长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v (vA． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[分析可知，从正常行驶速率v0以大小为2a的加速度匀减速至速率为v，以速率v匀速通过隧道，之后以大小为a的加速度匀加速至正常行驶速率v0，所用时间最少。匀减速过程有v＝v0－2at1，解得t1＝，在隧道内匀速运动的时间t2＝，匀加速过程有v0＝v＋at3，解得t3＝，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为t＝t1＋t2＋t3＝，故选C。]
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
11
7．(2025·河北一模)比赛中某选手将网球竖直向上抛出，并在网球抛出1 s时完成击球。已知网球在上升到最高点的过程中，最初0.4 s与最后0.4 s内上升的高度之比为2∶1，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则击球瞬间网球至抛出点的距离为(　　)
A．1.2 m B．1 m
C．0.8 m D．0.6 m
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[网球上升过程中，最后0.4 s内上升的高度h1＝gt2＝0.8 m，可知网球抛出后最初0.4 s内上升的高度h2＝2h1＝1.6 m，设网球抛出时的初速度大小为v0，则有h2＝v0t－gt2，解得v0＝6 m/s，所以击球瞬间网球至抛出点的距离h＝v0t′－gt′2＝1 m(其中t′＝1 s)，故选项B正确。故选B。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
8．(2025·河南郑州高三阶段检测)如图所示，长度为0.55 m的圆筒竖直放在水平地面上，在圆筒正上方距其上端1.25 m处有一小球(可视为质点)。在由静止释放小球的同时，将圆筒竖直向上抛出，结果在圆筒落地前的瞬间，小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒上抛的速度大
小可能为(空气阻力不计，取g＝10 m/s2)(　　)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．2.3 m/s B．2.6 m/s
C．3.1 m/s D．3.2 m/s
B　[小球从释放到落地共用时t1＝＝ s＝0.6 s，小球从释
放到下落1.25 m共用时t2＝＝ s＝0.5 s，设圆筒上抛的初速度为v0，则圆筒在空中的运动时间为t3＝，要使圆筒落地前的瞬间小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒的运动时间要小于小球的总运动时间，还要大于小球从释放到下落1.25 m所用时间，即t20.6 s，解得2.5 m/s题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
9．(多选)(2025·河南九师联盟高三联考)建筑工人常常徒手抛砖块，当砖块上升到最高点时，被楼上的师傅接住用以砌墙。若某次以
10 m/s的速度从地面竖直向上抛出一砖块，楼上的师傅没有接住，g取10 m/s2，空气阻力可以忽略，下列说法正确的是(　　)
A．砖块上升的最大高度为10 m
B．砖块回到抛出点前0.5 s时间内通过的距离为3.75 m
C．经2 s砖块回到抛出点
D．被抛出后上升的过程中砖块做变减速直线运动
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
BC　[砖块上升的最大高度为h＝＝ m＝5 m，故A错误；砖块上
升到最高点需要的时间为t1＝＝1 s，根据运动的对称性可知从抛出到回到抛出点所需时间为t＝2t1＝2 s，砖块从最高点经过0.5 s下降的高度为h′＝gt′2＝×10×0.52 m＝1.25 m，砖块回到抛出点前0.5 s时间内通过的距离为s＝h－h′＝3.75 m，故B、C正确；被抛出后上升的过程中砖块的加速度始终等于重力加速度，砖块做匀减速直线运动，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
10．(2025·辽宁辽阳期末)如图所示，小球甲从距离地面高度为h1＝15 m处以速度v0＝10 m/s竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为h2＝20 m处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
A．小球乙落地前，甲相对乙做匀变速直线运动
B．两球运动0.5 s时，距离地面均为18.75 m
C．小球落地前的运动过程中，小球甲、乙的平均速度之比为2∶1
D．小球乙落地时，甲距地面5 m
B　[两球的加速度均为重力加速度，相对加速度为0，则小球乙落地前，甲相对乙向上做匀速直线运动，故A错误；两球运动0.5 s时，根据位移公式有x1＝＝3.75 m，x2＝＝1.25 m，则距离地面高度h3＝h1＋x1＝
18.75 m，h4＝h2－x2＝18.75 m，故B正确；小球落地前的运动过程中，根据－h1＝，h2＝，解得t2＝3 s，t3＝2 s，小球落地前的运动过程中，小球甲、乙的平均速度大小分别为＝＝5 m/s，＝＝10 m/s，可知，落地前的运动过程中，小球甲、乙的平均速度之比为1∶2，故C错误；结合上述分析，小球乙落地时，经历时间为2 s，则甲的位移x3＝＝0，可知，此时甲回到出发点，即小球乙落地时，甲距地面15 m，故D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
11．(12分)(2025·湖北武汉市第二中学月考)无人机在生产生活中有广泛应用，我国林业部门将无人机运用于森林防火工作中。如图所示，某架无人机执行火情察看任务，悬停在目标正上方且距目标高度为H1＝205 m处，t＝0时刻，它以加速度a1＝6 m/s2竖直向下匀加速运动距离h1＝75 m后，立即向下做匀减速直线运动直至速度为零，重新悬停在距目标高度为H2＝70 m的空中，然后进行拍照。重力加速度大小取10 m/s2。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
(1)求无人机从t＝0时刻到重新悬停在距目标高度为H2＝70 m处的总时间t；
(2)若无人机在距目标高度为H2＝70 m处悬停时动力系统发生故障，自由下落2 s后恢复动力，要使其不落地，求恢复动力后的最小加速度。
[解析]　(1)设无人机下降过程最大速度为v，向下匀加速运动时间为t1，匀减速运动时间为t2，由匀变速直线运动规律有h1＝，v＝a1t1，H1－H2－h1＝t2
联立解得t1＝5 s，t2＝4 s
则总时间为t＝t1＋t2＝9 s。
(2)无人机自由下落2 s末的速度为v2＝＝20 m/s
2 s内向下运动的位移为x1＝＝20 m
设其向下匀减速运动的加速度大小为a2时，恰好到达地面前瞬间速度为零，此
时a2为最小加速度，则H2－x1＝，代入数据解得a2＝4 m/s2。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[答案]　(1)9 s　(2)4 m/s2
谢 谢 ！课时数智作业(三)　自由落体与竖直上抛运动　多过程问题
说明：第1～7题，每小题4分；第8～10题，每小题5分；本试卷共55分。
1．关于自由落体运动的加速度g，下列说法中正确的是(　　)
A．质量大的物体的g值大
B．g值在地球上任何地方都一样大
C．同一地点，不同物体的g值一样大
D．g值在赤道处大于在北极处
2．对于自由落体运动(g取10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B．在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D．在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
3．(2025·北京门头沟一模)跳水运动员保持直立状态，双脚朝下由静止开始下落。开始时双脚距离水面5 m。下列说法正确的是(　　)
A．运动员在空中运动的时间约为2 s
B．运动员在空中运动的时间约为1 s
C．运动员入水时速度大小约为5 m/s
D．运动员入水时速度大小约为1 m/s
4．(2025·河北秦皇岛一模)一同学为了估测某建筑物的高度，由楼顶静止释放一物体，测得物体落地前1 s内下落的高度为95 m，重力加速度g取10 m/s2，则该建筑物的高度约为(　　)
A．450 m B．500 m
C．550 m D．600 m
5．(2025·江苏苏州市调研)以8 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，则小树高约为(　　)
A．0.8 m B．1.6 m
C．2.4 m D．3.2 m
6．长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(vA． B．
C． D．
7．(2025·河北一模)比赛中某选手将网球竖直向上抛出，并在网球抛出1 s时完成击球。已知网球在上升到最高点的过程中，最初0.4 s与最后0.4 s内上升的高度之比为2∶1，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则击球瞬间网球至抛出点的距离为(　　)
A．1.2 m B．1 m
C．0.8 m D．0.6 m
8．(2025·河南郑州高三阶段检测)如图所示，长度为0.55 m的圆筒竖直放在水平地面上，在圆筒正上方距其上端1.25 m处有一小球(可视为质点)。在由静止释放小球的同时，将圆筒竖直向上抛出，结果在圆筒落地前的瞬间，小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒上抛的速度大小可能为(空气阻力不计，取g＝10 m/s2)(　　)
A．2.3 m/s B．2.6 m/s
C．3.1 m/s D．3.2 m/s
9．(多选)(2025·河南九师联盟高三联考)建筑工人常常徒手抛砖块，当砖块上升到最高点时，被楼上的师傅接住用以砌墙。若某次以10 m/s的速度从地面竖直向上抛出一砖块，楼上的师傅没有接住，g取10 m/s2，空气阻力可以忽略，下列说法正确的是(　　)
A．砖块上升的最大高度为10 m
B．砖块回到抛出点前0.5 s时间内通过的距离为3.75 m
C．经2 s砖块回到抛出点
D．被抛出后上升的过程中砖块做变减速直线运动
10．(2025·辽宁辽阳期末)如图所示，小球甲从距离地面高度为h1＝15 m处以速度v0＝10 m/s竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为h2＝20 m处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球乙落地前，甲相对乙做匀变速直线运动
B．两球运动0.5 s时，距离地面均为18.75 m
C．小球落地前的运动过程中，小球甲、乙的平均速度之比为2∶1
D．小球乙落地时，甲距地面5 m
11．(12分)(2025·湖北武汉市第二中学月考)无人机在生产生活中有广泛应用，我国林业部门将无人机运用于森林防火工作中。如图所示，某架无人机执行火情察看任务，悬停在目标正上方且距目标高度为H1＝205 m处，t＝0时刻，它以加速度a1＝6 m/s2竖直向下匀加速运动距离h1＝75 m后，立即向下做匀减速直线运动直至速度为零，重新悬停在距目标高度为H2＝70 m的空中，然后进行拍照。重力加速度大小取10 m/s2。
(1)求无人机从t＝0时刻到重新悬停在距目标高度为H2＝70 m处的总时间t；
(2)若无人机在距目标高度为H2＝70 m处悬停时动力系统发生故障，自由下落2 s后恢复动力，要使其不落地，求恢复动力后的最小加速度。
课时数智作业(三)
1．C　[地球上同一地点的重力加速度相等，与物体的质量无关，故A错误，C正确；在地球上两极的重力加速度大于赤道处的重力加速度，故B、D错误。]
2．B　[在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；在相邻两个1 s内的位移之差都是Δx＝gT2＝10 m，故B正确；在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。]
3．B　[根据位移时间关系h＝gt2，g取10 m/s2，代入数据解得运动员在空中运动的时间t＝1 s，故B正确，A错误；运动员入水时速度大小v＝gt，代入数据可得运动员入水时速度大小v＝10 m/s，故C、D错误。]
4．B　[设物体下落的时间为t，则测得物体落地前1 s内下落的高度为Δh＝gt2－g(t－1)2＝95 m，解得t＝10 s，则该建筑物的高度约为h＝＝×10×102 m＝500 m，故选B。]
5．C　[石子竖直上升的最大高度为H＝＝3.2 m，由题意可知，石子从最高点运动到小树顶端的时间为t1＝＝0.4 s，则最高点到小树顶端的距离为h1＝＝0.8 m，则小树高约为h＝H－h1＝2.4 m，故选C。]
6．C　[分析可知，从正常行驶速率v0以大小为2a的加速度匀减速至速率为v，以速率v匀速通过隧道，之后以大小为a的加速度匀加速至正常行驶速率v0，所用时间最少。匀减速过程有v＝v0－2at1，解得t1＝，在隧道内匀速运动的时间t2＝，匀加速过程有v0＝v＋at3，解得t3＝，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为t＝t1＋t2＋t3＝，故选C。]
7．B　[网球上升过程中，最后0.4 s内上升的高度h1＝gt2＝0.8 m，可知网球抛出后最初0.4 s内上升的高度h2＝2h1＝1.6 m，设网球抛出时的初速度大小为v0，则有h2＝v0t－gt2，解得v0＝6 m/s，所以击球瞬间网球至抛出点的距离h＝v0t′－gt′2＝1 m(其中t′＝1 s)，故选项B正确。故选B。]
8．B　[小球从释放到落地共用时t1＝＝ s＝0.6 s，小球从释放到下落1.25 m共用时t2＝＝ s＝0.5 s，设圆筒上抛的初速度为v0，则圆筒在空中的运动时间为t3＝，要使圆筒落地前的瞬间小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒的运动时间要小于小球的总运动时间，还要大于小球从释放到下落 1.25 m 所用时间，即t29．BC　[砖块上升的最大高度为h＝＝ m＝5 m，故A错误；砖块上升到最高点需要的时间为t1＝＝1 s，根据运动的对称性可知从抛出到回到抛出点所需时间为t＝2t1＝2 s，砖块从最高点经过0.5 s下降的高度为h′＝gt′2＝×10×0.52 m＝1.25 m，砖块回到抛出点前0.5 s时间内通过的距离为s＝h－h′＝3.75 m，故B、C正确；被抛出后上升的过程中砖块的加速度始终等于重力加速度，砖块做匀减速直线运动，故D错误。]
10．B　[两球的加速度均为重力加速度，相对加速度为0，则小球乙落地前，甲相对乙向上做匀速直线运动，故A错误；两球运动0.5 s时，根据位移公式有x1＝＝3.75 m，x2＝＝1.25 m，则距离地面高度h3＝h1＋x1＝18.75 m，h4＝h2－x2＝18.75 m，故B正确；小球落地前的运动过程中，根据－h1＝，h2＝，解得t2＝3 s，t3＝2 s，小球落地前的运动过程中，小球甲、乙的平均速度大小分别为＝＝5 m/s，＝＝10 m/s，可知，落地前的运动过程中，小球甲、乙的平均速度之比为1∶2，故C错误；结合上述分析，小球乙落地时，经历时间为2 s，则甲的位移x3＝＝0，可知，此时甲回到出发点，即小球乙落地时，甲距地面15 m，故D错误。]
11．解析：(1)设无人机下降过程最大速度为v，向下匀加速运动时间为t1，匀减速运动时间为t2，由匀变速直线运动规律有h1＝，v＝a1t1，H1－H2－h1＝t2
联立解得t1＝5 s，t2＝4 s
则总时间为t＝t1＋t2＝9 s。
(2)无人机自由下落2 s末的速度为v2＝＝20 m/s
2 s内向下运动的位移为x1＝＝20 m
设其向下匀减速运动的加速度大小为a2时，恰好到达地面前瞬间速度为零，此时a2为最小加速度，则H2－x1＝，代入数据解得a2＝4 m/s2。
答案：(1)9 s　(2)4 m/s2
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