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2026年甘肃省武威第十一中学数学中考第三次模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列四个近年来热门的（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍， ，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（ ）
A．26根 B．29根 C．31根 D．32根
4．如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，，连接，交于点，连接并延长交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件
B．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则乙的成绩比甲的稳定
D．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，采用抽样调查
6．如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点O．若点，点，点，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的边长为6，点E在边上，连接，作交的角平分线于点F，交于点H，连接交于点M．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ）
A．B． C． D．
9．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　）
A．12 B． C． D．
10．如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若分式有意义，则的取值范围是________________．
12．已知，则的值为_______．
13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________．
14．如图，点A，B分别在和的图象上，且轴，点在轴上，若的面积为7，则_____．
15．如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则的度数为_______．
16．如图， ABC内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若，则的度数为________．
17．如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______．
18．如图，抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为____________．
三、解答题（共66分）
19．（本题4分）计算：．
20．（本题4分）解方程组：．
21．（本题6分）如图，在平行四边形中， E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：
(2)若 ，求四边形的面积．
22．（本题6分）2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
23．（本题6分）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为．
(1)在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长；
(2)图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．
（参考数据：，所有结果精确到）
24．（本题6分）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
(1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离．
(2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）
25．（本题8分）如图，，，将线段绕着点顺时针旋转，，得到，连接、，点为线段中点，过点作交于点．连接交于点．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，若，点是直线上一动点，作点关于点的对称点，连接、，对于的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积．
26．（本题8分）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点．设，，．
(1)求证：；
若，求的值．
【特值探究】
(2)若，，，求长；
【逆向思考】
(3)点为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由．
27．（本题8分）某校准备从八年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，八（1）班共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩按如下扇形统计图（图1）的比例计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（图2）（每组含最小值，不含最大值）如下．
(1)在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是______，平均数是______．
(2)在（1）的条件下，请计算小涵的综合成绩．班主任根据综合成绩择优选取5名学生推到学校里进行选拔，试分析小涵能否人选，并说明理由．
(3)若5位评委中有2位评委来自第三方机构，其余3位评委为本校老师，小涵在即兴演讲环节中，有2位评委给了满分，求给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率．
28．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2026年甘肃省武威第十一中学数学中考第三次模拟试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B D D A A B D
11．
12．
13．1
14．6
15．/112.5度
16．/度
17．
18．
19．
20．．
21．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）由（1）得，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
过 C 作于H．
在中， ，，
∴，
∴四边形的面积：．
22．（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：由题意得，
，
∵，，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
23．（1）解：如图，连接，
根据题意可得四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴点是点绕点旋转得到，
∴点经过的路径长为；
（2）解：在上取，作于点，交于点，交于点，
当汽车与保持安全距离 时，
∵汽车宽度为 ，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，汽车高度为 ，
∴汽车能安全通过．
24．（1）解：如图，连接，延长交AB 弧于点，设的半径为，
由题意可知，，
，，
弓形高，，
，，
在中，，
，
解得，
，
即圆心 到的距离为．
（2）解：如图，延长，交于点，
由题意可知，，，
在中，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
．
即的长度约为．
25．（1）解：∵，将线段绕着点顺时针旋转得到，，
∴，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，，将线段绕着点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为线段中点，，
∴，是的角平分线，
∴，，
∴，，
∴
∴，
在中，，
∴，
过点作的延长线于点，如图：
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴，
∴，
即．
（3）解：由（2）同理可得：，，
∵点关于点的对称点是点，
∴，
∵，，
∴，
在的延长线上确定一点，使，连接，如图：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点，，三点共线时，的值最小，即最小值为的长，
此时，，三点重合，
过作交于点，过点作交于点K，、的交点为S，如图，
则，，
∴，
∵，
由（2）可得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，，
故四边形的面积为．
26．（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解：∵，
∴，
∴，
∴在中，；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
由（）可知，，
∴，
即，
∴，
∴；
（3）解： ABC是等腰直角三角形，理由如下：
在中，，，
由（）可知，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
由题意知，上式对于任意恒成立，
∴且，
∴，
∴锐角，
则在中，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴ ABC是等腰直角三角形．
27．（1）解：将数据从小到大排列：；
∴中位数为，平均数为；
故答案为：；．
（2）解：小涵的综合成绩是：（分），小涵能入选．
理由：由频数分布直方图，可得综合成绩低于80分的学生有5名，而小涵的综合成绩为83.1分，高于80分，
班主任根据综合成绩择优选取5名学生推到学校里进行选拔，小涵能入选．
（3）解：设2位第三方机构的评委为，3位本校老师的评委为，画出树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中只有1位是第三方机构的评委的可能结果有12种，
故给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率为．
28．（1）解：∵当时，，
∴，
∵当时，，，
∴，
∵二次函数的图象过两点，
∴，解得：，
即：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，，
∵，
∴，
∴，
∴即：，
∵四边形是正方形，
∴，即：，
∴互相垂直平分，，
∵点是第二象限位于抛物线上一点，
∴设，
，解得：，
∴，
∴，
解得：（舍），
∴；
（3）答：存在，或，理由如下：
过点作，过点B作
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是正方形，
当时，，
∴，
∴即：，
如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时，
∵，
∴，
∴，
即：，
设直线的解析式为：，
∴解得：，
即：，
∵，
∴（舍）或，
∴；
当在上方时，
作点关于的对称点，
∵四边形是正方形，
∴点在上，，，
∴，
∵时，，
∴在抛物线上，
∵，
∴，
当与重合时，，此时，，
综上：存在，或.
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