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人教版九年级（上）
25.2 降次—解一元二次方程
25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
第二十五章 一元二次方程
一元二次方程 两 根
x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
2x2 + 3x + 1 = 0
-4
1
2
3
-1
-3
-4
5
6
x1 + x2 = ？
x1·x2 = ？
(1) 填一填，然后用语言叙述你发现的规律；
(2) x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 用式子表示你发现的规律.
根与系数之间的规律.
(1) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
猜一猜
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式.
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
知识点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
(2) 如果方程二次项系数不为1，对于一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，它的两根之和、积与系数又有怎样的关系呢？
猜一猜
ax2 + bx + c = 0
注：b2 - 4ac≥0
↗
证一证
总结
一元二次方程的根与系数的关系：
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
注意：满足上述关系的前提条件是
b2 - 4ac≥0.
例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2 – 6x – 15 = 0；
解： a = 1，b = – 6， c = – 15.
Δ = b2 - 4ac = ( –6 )2 – 4 × 1 ×(–15 ) = 96 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么
x1 + x2 = – ( –6 ) = 6， x1 x2 = -15.
(2) 3x2 + 7x - 9 = 0；
解：a = 3，b = 7，c = -9.
Δ = b2 4ac = 72 – 4×3×( 9 ) = 157 > 0，
∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = ， x1 x2 =
(3) 5x – 1 = 4x2.
解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0.
a = 4，b = – 5，c = 1.
Δ = b2 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0.
∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = ，x1 x2 = .
总结
求两根之和、两根之积的步骤：
化为一般式 → 判断 Δ≥0 → 代入 a、b、c
例2 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
常见的求值式子如下：
知识拓展
1. (呼和浩特) 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2022 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2022x1 + x22 的值是 ( )
A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1
A
x12-x1-2022=0
x12 -2022= x1
x13-2022x1+x22
x1(x12-2022)+x22
x12+x22
(x1+x2)2-2x1x2
x2-x-2022=0
x1+x2=1，x1x2 =-2022
4045
定义
根与系数的关系
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么
_____________,_____________
应用前提
方程有实数根，即_____________
应用
Δ=b2 - 4ac≥0
1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____.
___
-3
2. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 19 + m = 0.
解得 m = 16. 设另一个根为 x1，
则 1 · x1 = ∴ x1 =
3. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x -3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2)
解：由根与系数的关系，得
(1) (x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1 =
(2)

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