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人教版九年级（上）
25.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 几何面积问题与一元二次方程
第二十五章 一元二次方程
问题： 应用方程解实际问题的步骤是什么？
实际问题
审题
设未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
找等量关系
例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x＋1，x＋2，其中 x 为正整数.
由勾股定理，得 x ＋(x＋1) ＝(x＋2) .
解方程，得 x1 = 3，x2 = －1 (不符合题意，舍去).
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5.
知识点1：几何图形与一元二次方程
例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
分析：假设细绳能围成面积为 96 m 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为 x m，由周长为 40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20－x) m；再由矩形的面积为96 m ，得
x(20－x)＝96.
解方程，得 x1 = 12，x2 = 8.
因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m.
【练一练】1. 现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，做成一个底面积为 1500 cm 的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.
解：设小正方形的边长为 x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80－2x) cm，宽是 (60－2x) cm，
由题意，得 (80－2x)(60－2x)＝1500，
解得 x1＝55，x2＝15.
又 60－2x＞0，∴x＝55(舍).
∴小正方形的边长为 15 cm.
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
还有其他列法吗？
方法一：
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 x
32 x
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
方法二：
解决有关图形面积问题：
(注：这里的横坚斜小路的的出入口宽度都相等)
平移转化
总结
1.改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长 (AD)16 m，宽 (AB)9 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为 112 m2，则小路的宽应为多少？
A
B
D
C
解：设小路的宽应为 x m.
根据题意得：(16 - 2x)(9 - x) = 12，
解得：x1 = 1，x2 = 16 (舍去).
答：小路的宽应 1 m.
x
x
图形、面积问题
几何图形中的面积问题：面积公式
(不规则图形采用平移或割补进行转化)
直角三角形中的边长问题：勾股定理
1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0
B．x2 + 65x - 350 = 0
C．x2 - 130x - 1400 = 0
D．x2 - 65x - 350 = 0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
2.(黄冈月考)某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场.鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个 2 米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为 30 米.
(1) 若墙长为 18 米，要围成的鸡场面积是 120 平方米，则鸡场的长和宽各为多少米
(2) 围成的鸡场面积能达到 180 平方米吗 说明理由.
等量关系：
鸡场墙长×鸡场墙宽 = 鸡场面积
2
x
x
解：(1)设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为 (30 + 2 - 2x) 米.
依题意得： x(30 + 2 - 2x) = 120 ，
整理得： x2 - 16x + 60 = 0 ，
解得： x1 = 10 ，x2 = 16.
当 x = 10 时，30 + 2 - 2x = 12 ＜18，符合题意，
当 x = 16 时，30 + 2 - 2x = 20 ＞18，不符合题意，舍去.
答：鸡场长为 12 米，宽为 10 米.
(2) 围成的鸡场面积不能达到 180 平方米，理由如下：
2
y
y
设垂直于墙的边长为 y 米，则平行于墙的边长为
(30 + 2 - 2y) 米.
依题意得： y(30 + 2 - 2y) = 180 ，
整理得： y2 - 16y + 90 = 0 ，
∵Δ = -104 ＜ 0，
∴ 围成的鸡场面积不能达到 180 平方米.
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC =
8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm ？
等量关系：
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，
CQ = 2x cm.
解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm .
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm .
则有
整理，得

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