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人教版九年级（上）
25.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 传播问题与平均变化率问题
第二十五章 一元二次方程
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
如何解决这一问题呢？
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1 + x = (1 + x)1
1 + x + x(1 + x) = (1 + x)2
x1 = ，x2 =
解方程，得
答：平均一个人传染了_____个人.
10
12
(不合题意,舍去).
10
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
(1 + x)2 = 121.
列方程
知识点1：传播问题与一元二次方程
(1) 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感
第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数
(1 + x)1 (1 + x)2
(1 + x)3
分析
3 轮传染后的人数是: (1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人).
(2) n 轮传染后有多少人患流感
(1 + x) + … + x(1 + x)n=(1 + x)n人
x1 = 11，
x2 = 12 (不合题意，舍去).
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
1
解：设每个支干长出 x 个小分支，
则 1 + x + x2 = 133，
即 x2 + x 132 = 0.
解得
答：每个支干长出 11 个小分支.
【合作探究】
两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
知识点2：平均变化率与一元二次方程
问题1 甲种、乙种食品年平均下降额分别是多少？
甲：(10 000 - 6000)÷2＝2000 (元)；
乙：(12 000 - 7200)÷2＝2400 (元).
问题2 甲种、乙种食品年平均下降率分别是多少？它们和下降率相同吗？
下降率 =
下降前的量 下降后的量
下降前的量
×100%
设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年启甲种食品成本为 10000(1－x)元，两年后甲种食品成本为 10000(1－x ) 元，于是有
10000(1－x )＝6000
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%.
请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率。
设乙种食品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种食品成本为 12 000(1 y) 元，两年后乙种食品成本为
12 000(1 y)2 元，于是有
解方程，得
根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为 22.5%.
y1≈0.225， y2≈1.775.
12 000(1 y)2＝7 200
问题3 经过计算，你能得出什么结论呢
经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率___________，应比较_________________.
不一定较大
降前及降后的价格
一般下降率不可为负，且不大于 1.
例2 某市政府工作报告：某年全市生产总值为 1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到 2180 亿元，求某市的平均每年增长率.
解：设某市的平均每年增长率为 x.
由题意，得 1585(1 + x)2 = 2180
解得 x1≈0.172 ，x2≈-2.172 (不符合题意，舍).
答：某市的平均每年增长率约为 17.2%.
总结：年均增长率需要考虑实际情况取值.
总结
平均变化率：
平均增长(或降低)百分率为 x
增长(或降低) n 次前的量是 a
增长(或降低) n 次后的量是 b
1.随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是 5000 元，现在生产一吨药的成本是 4050 元.设生产成本的年平均下降率为 x，下面所列方程正确的是 ( )
A.5000(1 + x2) = 4050 B.4050(1 + x2) = 5000
C.5000(1 - x2) = 4050 D.4050(1 - x2) = 5000
C
练一练
传播、平均变化率问题
传播问题：(1＋x)n
平均变化率问题：a(1±x)n＝b
1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( )
A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720
C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500
2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今、明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是 x，则可列方程为
.(不用化简)
B
2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8
3. 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了 10 次手，有多少人参加聚会？
解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手 x(x 1) 次，但每人都重复了一次，故根据题意得
解得 x1＝5，x2＝ 4(舍去)．∴ x＝5.
答：共有 5 个人参加聚会．
4.“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量 700 kg 的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008 kg 的目标.
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照 (1) 中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产达到 1200 kg，请通过计算说明他们的目标是否能实现.
解：(1) 设亩产量的平均增长率为 x，
依题意得 700(1 + x) = 1008，
解得 x1 = 0.2 ，x2 = -2.2(不合题意，舍去).
答：亩产量的平均增长率为 20%.
(2)1008×(1+20%) = 1209.6(kg).
∵ 1209.6 > 1200
∴他们的目标能实现.

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