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小结与复习
第二十五章 一元二次方程
单元结构图
实际问题
设未知数，列方程
一元二次方程
ax2 + bx + c = 0
方程 ax2 + bx + c = 0 的根
解方程
实际问题的答案
检验
配方法
公式法
因式分解法
降次
1. 一元二次方程的三个判断条件：
③未知数的最高次数是 2.
①方程两边都是整式；
②只含有一个未知数；
2. 根的判别式与根与系数的关系：
根
根的判别式 Δ = b2 4ac
Δ > 0，方程有两个不等的实数根
*根与系数的关系
Δ < 0，方程无实数根
Δ = 0，方程有两个相等的实数 根
3. 解一元二次方程几种方法：
解法
因式分解法
直接开平方法
公式法
(mx + n)2 = p (p≥0，m≠0)
(mx + n)2 = p (p≥0)
配方法
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是 ( )
A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0
A
二次项系数不为 0
m - 1 ≠ 0
m ≠ 1
1. (西藏)已知关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0 有实数根，则 m 的取值范围 ( )
A. B.
C. D.
D
Δ = 22 4(m-1)×( 3)≥0
m - 1 ≠ 0
考点二 一元二次方程的解法
例2 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变
为 ( )
A. (x - 1)2 = 6 B. (x + 2)2 = 9
C. (x + 1)2 = 6 D.( x - 2)2 = 9
A
A
(2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为 ( )
A. 13 B. 15 C. 18 D. 13 或 18
例3 解方程 (x2 2x)2 5x2 + 10x + 6 = 0．
解：方程整理得 (x2 2x)2 5(x2 2x) + 6 = 0.
设 x2 2x = m，则原方程变为 m2 5m + 6 = 0.
换元法
解得 m1 = 3，m2 = 2.
当 m = 3 时，x2 2x = 3，解得 x = 3 或 x = 1；
当 m = 2 时，x2 2x = 2，解得 x = 1± .
x3 = 1 + ，x4 = 1 ．
综上所述，原方程的解为 x1 = 3，x2 = 1，
1. 用适当的方法解方程：
(1) x2 4x 1 = 0； (2) (2x 1)2 = (3 x)2.
解：(1)
配方，得 x2 - 4x + 22 = 5，
开平方，得
(x - 2)2 = 5.
解得
移项，得 x2 - 4x = 1.
即
a = 1，b = 4，c = 1.
公式法：
Δ = 20＞0.
配方法：
(2) (2x 1)2 = (3 x)2.
解：直接开方法：
即 2x 1 = 3 x，
或 2x 1 = 3 + x.
∴ x1 = ，x2 = 2.
(2x 1)2 (3 x)2 = 0.
则 (2x 1 3 + x)
(2x 1 + 3 x) = 0，
即 3x 4 = 0，或 x + 2 = 0.
∴ x1 = ，x2 = 2.
2x 1=±(3 - x)，
因式分解法：
考点三 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3m = 4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. m < 2 C. m≥0 D. m < 0
A
10×6x2=1500
Δ > 0
(-4)2 - 4×1×(-3m)= 16 + 12m > 0
化为一般形式
总结
确定 a，b，c 的值
2. (西宁) 关于 x 的一元二次方程 2x2 + x - k = 0 没有实数根，则 k 的取值范围 ( )
A. B.
C. D.
Δ＜0
12 - 4×2×(-k)＜0
A
3. (内蒙古) 对于实数 a，b 定义运算“※”为
a※b = b2 - ab，例如 3※2=22 - 3×2 = -2，则关于 x 的方程 (k - 3)※x = k - 1 的情况，下列说法正确的是 ( )
A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 无实数根 D.无法确定
A
转化为一般式，判断 Δ
x2 - (k - 3)x = k - 1
代入新运算
考点四 一元二次方程的根与系数的关系
例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n，则 m2 - mn + n2 = ．
25
总结
重要公式变形：
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 有两个实数根．
(1) 求 m 的取值范围；
(2) 设 x1，x2 是方程的两根，且 = 12，求 m 的值.
解：(1) 根据题意得 Δ = (2m)2 4(m2 + m)≥0，
解得 m≤0.
(2) 根据题意得 x1 + x2 = 2m，x1x2 = m2 + m，
故 m 的值是 2.
∴ ( 2m)2 2(m2 + m) = 12，
解得 m1 = 2，m2 = 3 (不合题意，舍去).
∵ =12，
∴ (x1 + x2)2 2x1x2 = 12.
考点五 一元二次方程的应用
例6 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了 1260 张，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )
A. x(x + 1) = 1260 B. 2x(x + 1) = 1260
C. x(x 1) = 1260×2 D. x(x 1) = 1260
D
例7 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元时，平均每天能售出 32 件；而当销售价每上涨 2 元时，平均每天就少售出 4 件.
(1) 若公司每天的销售价为 x 元，求每天的销售量；
(2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？
解析：设公司每天的销售价为 x 元. 则其基本数量关系列表分析如下：
单件利润 (元) 销售量 (件) 每天利润
(元)
正常销售
涨价销售
4
32
x - 20
150
等量关系：总利润 = 单件利润×销售量.
128
解：(1) 32 - (x - 24) ÷2×4 = 80 - 2x (件).
(2) 由题意可得 (x - 20)(80 - 2x) = 150.
解得 x1 = 25，x2 = 35.
∵ x≤28，
∴ x = 25，即销售价应当为 25 元.
例8 某单位准备将院内一个长为 30 m，宽为 20 m 的矩形空地建成一个花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为 532 m2，那么小道的宽度应为多少米？(所有小道的进出口宽度相等，且每段小道为平行四边形)
解：设小道进出口的宽为 x m，
根据题意得 (30 2x)(20 x) = 532，
解得 x1 = 1，x2 = 34.
答：小道进出口的宽度应为 1 m.
∵ 30 2x＞0，20 x＞0，
∴ x＜15. ∴ x = 1.
4. (河池) 某厂家今年一月份的口罩产量是 30万个，三月份的口罩产量是 50 万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的平均增长率为 x，则所列方程为 ( )
A.30(1 + x)2 = 50 B.30(1 - x)2 = 50
C.30(1 + x2) = 50 D.30(1 - x2) = 50
A

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