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北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 暑期巩固
等腰三角形与三角形内角和
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=24°，∠EDC=12°，则∠DAE的度数为（　　）
A.58° B.60° C.62° D.64°
2、如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，∠B=20°，则∠A4等于（　　）
A.10° B.15° C.30° D.40°
3、在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC= °．
4、如图，已知∠BAC=70°，D是△ABC的边BC上的一点，且∠CAD=∠C，∠ADB=80°．求∠B的度数．
5、如图，在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．
等腰三角形与平行线性质
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED的度数为（　　）
A.140° B.80° C.100° D.70°
2、如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC．若∠ABC=67°，则∠1等于（　　）
A.23° B.46° C.67° D.78°
3、如图，a∥b，∠ABC=50°，若AB=AC，则∠α= °.
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC= °．
5、如图，AB=AC=AD．
（1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．
等腰三角形的三线合一
1、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠ADE的大小为（　　）
A.10° B.20° C.40° D.70°
2、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A.BD=CD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
3、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法：
（1）AD平分∠EDF；
（2）△EBD≌△FCD；
（3）BD=CD；
（4）AD⊥BC．
正确的有 个．
4、如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
5、如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
定义法判定等腰三角形
1、如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
2、如图，在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则图中等腰三角形的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　个．
4、在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
5、如图，已知AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形．
6、已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC.
等腰三角形的判定与三角形内角和
1、如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
2、已知，如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）
A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③
3、若一个三角形的三个外角的度数之比为5∶4∶5，则这个三角形是（　　）
A.等腰三角形，但不是等边三角形，也不是等腰直角三角形
B.直角三角形，但不是等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
4、如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形．
5、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A= 　时，△AOP为等腰三角形．
6、已知，如图，△ABC中，BC边上有D，E两点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABC是等腰三角形．
等腰三角形判定与角平线、平行线综合
1、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(　　)
A.BC＝EC B.EC＝BE C.BC＝BE D.AE＝EC
2、如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于(　　)
A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm
3、在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
4、如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________.
5、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．
6、已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF=AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
7、阅读与思考
下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
（1）以上证明过程中，依据是 ；
（2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明．
等腰三角形的性质与判定
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB垂直平分线交AC于D，交AB于E，给出下列结论：①∠C=72°，②BD是∠ABC的平分线，③BC=AD，④△ABC是等腰三角形．其中结论正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
2、下列说法错误的是（　　）
A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等
B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
D.两个等边三角形全等
3、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB=6，求DE的长.
4、如图，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足.
求证：
(1)AC=AD；
(2)CF=DF．
等边三角形的三条边相等
1、下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形；乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD，△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD，△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　）
A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同
2、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A.d＞h B.d＜h C.d=h D.无法确定
3、如图，在边长为100米的等边三角形花坛的边上，甲、乙两人分别从两个顶点同时出发，按逆时针方向行走，已知甲的速度是42米/分，乙的速度是34米/分．出发后___________分钟，甲乙两人第一次走在同一条边上．
4、如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2024个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是　 　．
等边三角形的三个角都等于60°
1、如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）
A.100° B.80° C.60° D.40°
2、如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2等于（　　）
A.60° B.90° C.120° D.180°
3、三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　 　°．
4、如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数．
5、如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
等边三角形中的三线合一
1、在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是(　　)
A.10° B.15° C.20° D.25°
2、等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
3、如图，等边△ABC中，AD为高，若AB=6，则CD的长度为　 　．
4、如图所示，在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则∠1的度数为　 　，AB=　 　．
5、如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD．
6、如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE.
等边三角形的性质与垂直
1、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（　　）
A.14 B.13 C.12 D.无法求出
2、如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（ ）
①点P在∠A的平分线上；
②AS=AR；
③QP∥AR；
④△BRP≌△QSP．
A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅②③正确 D.仅①和③正确
3、如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BD=2，以AD为一边向右作等边三角形ADE．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断AC，DE的位置关系，并给出证明．
4、如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数.
等边三角形的性质综合
1、如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
2、下面关于“等边三角形”的说法不正确的是（　　）
A.等边三角形的三条边都相等
B.等边三角形的三个内角都相等且都等于60°
C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质
3、如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　 　．（用含m，n的式子表示）
4、如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．
求证：（1）BD=CE；
（2）BM=CN．
定义判定等边三角形
1、一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
2、若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
3、三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
4、如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个．
5、如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形．
6、如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC．
（1）求证：DC=BC；
（2）如果∠C∶∠ADC=1∶2，求证：△CDB是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形
1、如图将边长为5cm的等边△ABC，沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是　 　三角形，DM=　 　cm．
2、在△ABC中，∠A=60°，∠B=　 　度时，△ABC是等边三角形．
3、如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形．
4、如图，∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，试判断三角形ABC的形状，并说明理由．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
1、等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　）
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰但非等边三角形
2、若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　）
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.上述三种情形都有可能
3、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　）
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
4、如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　 时，△AOP为等边三角形．
5、已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，若∠A=60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，过A点沿直线AE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的D点处，连接DC，若AE=BE，求证：△ADC是等边三角形．
等边三角形的性质和判定
1、如图，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F是AB的中点．如果AB=BC=AC，那么与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）
A.6条 B.5条 C.4条 D.3条
2、如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（　　）
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
3、“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
4、如图所示，已知，AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．
等边三角形和等腰三角形的性质
1、如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（　　）
A.50° B.45° C.40° D.35°
2、如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　）
A.75° B.80° C.70° D.85°
3、如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．
4、如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数．
5、如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD=AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
等边三角形的性质和等腰三角形的判定
1、如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
2、如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　）
A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a
3、如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　 ．
4、已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　 　；②　 　；③　 ；④　 ．
5、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求BC的长．
等边三角形和等腰三角形的判定与性质
1、如图，P是△ABC的BC边上的一点，且BP=PA=AC=PC,则∠B的度数为（ ）
A.50° B.40° C.30° D.20°
2、如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（　　）
A.4倍 B.3倍 C.2倍 D.1倍
3、如图，等边三角形ABC的三条中线交于点O，则图中除△ABC外，还有　 　是等腰三角形．
4、课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE=AD，求证：△ADE是等边三角形．
含30°角的直角三角形的性质
1、若三角形的三个内角的比为1∶2∶3，则它的最短边与最长边的比为（ ）.
A.1∶3 B.1∶2 C.2∶3 D.1∶4
2、某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　　)
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元
3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，如图，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由．
4、在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.
含30°角的直角三角形与等腰三角形
1、如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2、如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为(　　)
A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m
3、如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　)
A.2个 B.4个 C.5个 D.6个
4、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD= ．
5、△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______．
6、某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积．
7、如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
含30°角的直角三角形与等边三角形
1、如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ）
A.2 B.3 C.1 D.8
2、如图，△ABC为等边三角形，BD为∠ABC的平分线，交AC于D，DE⊥BC，垂足为E，若EC=1cm，则AB的长度为（　　）
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
3、如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE等于（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
4、如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB＝12 cm，则CE＝______ cm.
5、如图所示，AD和BE是等边三角形的两条高，其交点为O，若OD=4，则AD=______.
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC．求证：∠B=30°．
反证法
1、若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A.至少有一个角是钝角或直角
B.没有一个角是锐角
C.没有一个角是钝角或直角
D.每一个角都是钝角或直角
2、已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
②因此假设不成立．∴∠B＜90°，
③假设在△ABC中，∠B≥90°，
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
3、用反证法证明一个命题的结论“a＜b”时应假设（　　）
A.a＞b B.a≤b C.a=b D.a≥b
4、“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设____________________．
5、反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”.如图，两条直线m，n被直线l所截，已知∠1≠∠2．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为 ．
6、用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
北师大版（2024）八年级下册 1.2 等腰三角形 暑期巩固（参考答案）
等腰三角形与三角形内角和
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=24°，∠EDC=12°，则∠DAE的度数为（　　）
A.58° B.60° C.62° D.64°
【答案】B
【解析】∵AB=AC，AD=DE，
∴∠B=∠C，∠DAE=∠DEA，
∵∠ADC=∠BAD+∠B，∠DEA=∠C+∠EDC，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=∠B+24°-12°=∠B+12°，
∠DEA=∠B+12°，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，
∴∠B+12°+∠B+12°+∠B+12°=180°，
∴∠DAE=∠B+12°=60°．
故选：B．
2、如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，∠B=20°，则∠A4等于（　　）
A.10° B.15° C.30° D.40°
【答案】A
【解析】∵AB=A1B，∠B=20°，∴∠A=∠BA1A=（180°﹣∠B）=×（180°﹣20°）=80°．∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，∴∠A1CD=∠A1A2C，∵∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8∠A4，∴∠A4=10°．故选A．
3、在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC= °．
【答案】32
【解析】设∠BAC=x，则∠BDC=42°+x．
∵CD=CB，∴∠B=∠BDC=42°+x．∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=42°+x，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=x，∴∠ADC=∠B+∠BCD=42°+x+x=42°+2x．∵∠ADC+∠BDC=180°，
∴42°+2x+42°+x=180°，解得x=32°，所以∠BAC═32°．故答案为32．
4、如图，已知∠BAC=70°，D是△ABC的边BC上的一点，且∠CAD=∠C，∠ADB=80°．求∠B的度数．
【答案】解 ∵∠CAD=∠C，∠ADB=∠CAD+∠C=80°，
∴∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=70°．
5、如图，在△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．
【答案】证明 ∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，
∠AED=∠C+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
等腰三角形与平行线性质
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED的度数为（　　）
A.140° B.80° C.100° D.70°
【答案】C
【解析】∵AB=AC，∠B=40°，∴∠C=40°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=100°．故选C．
2、如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC．若∠ABC=67°，则∠1等于（　　）
A.23° B.46° C.67° D.78°
【答案】B
【解析】根据题意得AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=67°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ACB+∠ABC =180°，
∴∠1=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°．故选B．
3、如图，a∥b，∠ABC=50°，若AB=AC，则∠α= °.
【答案】130
【解析】∵AB=AC，∠ABC=50°，∴∠ACB=∠ABC=50°，∵a∥b，∴∠α=130°．故答案为130．
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC= °．
【答案】25
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BAC=130°，∴∠C=（180°-130°）÷2=25°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C=25°．故答案为25．
5、如图，AB=AC=AD．
（1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）如果∠C=2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．
【答案】解 （1）∠C=2∠D，证明：∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC，又∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∴∠ABC=2∠D，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠D．
（2）AD∥BC，证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2∠D，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠D，∴∠DBC=∠D，∴AD∥BC．
等腰三角形的三线合一
1、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠ADE的大小为（　　）
A.10° B.20° C.40° D.70°
【答案】B
【解析】∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=×（180°﹣∠BAC）=×（180°﹣100°）=40°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=×（180°﹣∠B）=×（180°﹣40°）=70°，
又AD是BC边上的中线，
∴∠ADB=90°，∴∠ADE=90°﹣70°=20°．故选B．
2、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A.BD=CD B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
【答案】D
【解析】∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴BD=CD（故A正确），AD⊥BC（故B正确），∠BAD=∠CAD（故C正确），无法得到AB=2BD（故D不正确）．故选D．
3、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法：
（1）AD平分∠EDF；
（2）△EBD≌△FCD；
（3）BD=CD；
（4）AD⊥BC．
正确的有 个．
【答案】4
【解析】∵△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴AD平分∠EAF，BD=CD，AD⊥BC，故（3）（4）正确，
∵BE=CF，∴△EBD≌△FCD，∴（2）正确，∴∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠EDF，∴(1)正确．故答案为4．
4、如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
【答案】证明 (1)如图，过点A作AG⊥BC于点G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE.
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
5、如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
【答案】证明 如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC，
∵AD=AE，∴DP=PE，
∴BP﹣DP=PC﹣PE，
∴BD=CE．
定义法判定等腰三角形
1、如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】如图，①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有1个；②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有3个．综上所述，符合条件的点P共有4个．故选C．
2、如图，在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则图中等腰三角形的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵BC=BA，∴△BCA是等腰三角形，∵AC=CD，∴△ACD是等腰三角形，∵BD=CD，∴△BDC是等腰三角形．故选C．
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　个．
【答案】6
【解析】如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC 于点P2；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2（此时AB=AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．
故符合条件的点有6个．故答案为6．
4、在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
【答案】3
【解析】第一图，由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
第二图，由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误．
第三图，由作图可知BA=BD可推出BD=CD=AD，即△ADC是等腰三角形，故正确．
第四图，由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
故答案为3
5、如图，已知AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形．
【答案】证明 ∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)，
∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)，
∴AE＝DE(等角对等边)，
∴△AED是等腰三角形．
6、已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC.
【答案】证明 ∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
而已知∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC(等角对等边)．
等腰三角形的判定与三角形内角和
1、如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形，∵∠ADE=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠AED=2∠C，∴∠C=∠EAC，∴AE=EC，∴△AEC是等腰三角形，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选C．
2、已知，如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）
A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③
【答案】A
【解析】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选A．
3、若一个三角形的三个外角的度数之比为5∶4∶5，则这个三角形是（　　）
A.等腰三角形，但不是等边三角形，也不是等腰直角三角形
B.直角三角形，但不是等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【答案】A
【解析】根据三角形的外角和为360°，可知三个外角中没有一个为90°，即这个三角形一定不是直角三角形，因为只有两个外角相等，所以有两个内角相等，所以选A．
4、如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是___________三角形．
【答案】等腰
【解析】三角形有两个角分别为80°，50°，那么第三个角为180°-80°-50°=50°，所以有两个角相等，这个三角形是等腰三角形.
5、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A= 　时，△AOP为等腰三角形．
【答案】30°或75°或120°
【解析】当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，当点P为顶点时，∠A=30°，故答案为30°或75°或120°．
6、已知，如图，△ABC中，BC边上有D，E两点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明 ∵∠B=∠3﹣∠1，∠C=∠4﹣∠2，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
等腰三角形判定与角平线、平行线综合
1、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(　　)
A.BC＝EC B.EC＝BE C.BC＝BE D.AE＝EC
【答案】C
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.
又∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE.
2、如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于(　　)
A.3 cm B.4 cm C.1.5 cm D.2 cm
【答案】B
3、在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】∵∠ABC=∠C=2∠A，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴2∠A+2∠A+∠A=180°，∴∠A=36°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=∠ADE=∠C=72°，∠EDB=∠DBC，∴AE=AD，∴△AED为等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠A=36°，∴ED=BE，AD=BD，∴△ADB，△EBD为等腰三角形，∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=72°=∠C，∴△BCD为等腰三角形，∴等腰三角形共有5个．故选A．
4、如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________.
【答案】3
5、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________．
【答案】9
6、已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF=AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
【答案】证明 （1）∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）在△ABF和△CAE中，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE．
7、阅读与思考
下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
（1）以上证明过程中，依据是 ；
（2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明．
【答案】解 （1）依据是等角对等边．
（2）第二种情况，已知：如图，△ACE是等腰三角形，CE是∠ACD的平分线．
求证：AB∥CD．
理由：∵△ACE是等腰三角形，
∴∠AEC=∠ACE．
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠ECD．
∴∠AEC=∠ECD．
∴AB∥CD．
第三种情况，已知：如图，△ACE是等腰三角形，AB∥CD．
求证：CE是∠ACD的平分线．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠ECD．
∵△ACE是等腰三角形．
∴∠AEC=∠ACE．
∴∠ACE=∠ECD，
∴CE是∠ACD的平分线．
等腰三角形的性质与判定
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB垂直平分线交AC于D，交AB于E，给出下列结论：①∠C=72°，②BD是∠ABC的平分线，③BC=AD，④△ABC是等腰三角形．其中结论正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°，∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°，∴BD平分∠ABC，∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴BD=BC，∴BC=AD．∴这四个命题都正确．故选D．
2、下列说法错误的是（　　）
A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等
B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
D.两个等边三角形全等
【答案】D
【解析】A选项中，两边夹一角，可证明其全等；
B中两角夹一边，也全等；
C中斜边对应相等的两个等腰直角三角形利用两角夹一边，亦全等；
D中两个等边三角形，虽然角相等，但边长不确定，所以不能确定其全等，所以D错误．故选D．
3、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB=6，求DE的长.
【答案】解 ∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°．
∴∠ABD=∠BDE．
∴DE=BE．
∵AB=6，
∴DE=BE=AE=AB=3，
4、如图，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足.
求证：
(1)AC=AD；
(2)CF=DF．
【答案】证明 (1)∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，
(2)∵AF⊥CD，AC=AD．∴CF=FD（三线合一性质）．
等边三角形的三条边相等
1、下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图．已知甲的路线为：A→B→C，△ABC是等边三角形；乙的路线为：A→B→D→E→C，其中D为AC的中点，△ABD，△DEC都是等边三角形；丙的路线为：A→B→D→E→C，其中D在AC上（AD≠DC），△ABD，△DEC都是等边三角形；则三人行进的路程（　　）
A.甲最短 B.乙最短 C.丙最短 D.三人行进的路程相同
【答案】D
【解析】设等边三角形ABC的边长是a，则乙图中等边△ADB，△DEC的边长是a，丙图中等边三角形的边长AB+DE=a，∴甲：a+a=2a，乙：4×a=2a，丙：2（AB+DE）=2a．故选D．
2、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）
A.d＞h B.d＜h C.d=h D.无法确定
【答案】C
【解析】如图，连接BP，过点P作PD⊥BC，PE⊥AB，分别交BC，AB于点D，E，∴S△ABC=S△BPC+S△BPA=BC PD+AB PE=BC PD+BC PE
=BC（PD+PE）=d BC=h BC，∴d=h．故选：C．
3、如图，在边长为100米的等边三角形花坛的边上，甲、乙两人分别从两个顶点同时出发，按逆时针方向行走，已知甲的速度是42米/分，乙的速度是34米/分．出发后___________分钟，甲乙两人第一次走在同一条边上．
【答案】
【解析】∵如图所示的三角形是等边三角形，∴AC=BC=100米．∵甲的速度是42米/分，乙的速度是34米/分，∴当甲走完线段BC的长时，甲乙两人第一次走在同一条边上，∴t==（分）．故答案为：．
4、如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2024个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是　 　．
【答案】2026
【解析】一个等边三角形的周长是1+1+1=3×1=3；第二个图形的周长是1+1+1+1=4×1=4，第三个图形的周长是1+1+1+1+1+1=5×1=5；第四个图形的周长是1+1+1+1+1+1=6×1=6；…则第2024个图形的周长是（2024+2）×1=2026．故答案为：2026．
等边三角形的三个角都等于60°
1、如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）
A.100° B.80° C.60° D.40°
【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∵∠1=20°，∴∠3=100°，∴∠2=100°．故选A．
2、如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2等于（　　）
A.60° B.90° C.120° D.180°
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠1+∠2=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°．故选C．
3、三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　 　°．
【答案】140
【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=140°．故答案为：140
4、如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数．
【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠2=∠3，
∴∠2+∠BCE=∠3+∠BCE=∠ACB=60°，∴∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=180°﹣60°=120°．
5、如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
等边三角形中的三线合一
1、在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是(　　)
A.10° B.15° C.20° D.25°
【答案】B
2、等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】D
3、如图，等边△ABC中，AD为高，若AB=6，则CD的长度为　 　．
【答案】3
【解析】∵等边△ABC中，AB=6，∴AB=BC=6．∵AD⊥BC，
∴CD=BC=3．故答案为3．
4、如图所示，在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=3，则∠1的度数为　 　，AB=　 　．
【答案】30°　6
【解析】∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴BD=CD=3，∴AB=6．故答案为30°，6．
5、如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD．
【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，
即∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BAE=∠BAD=30°，
在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=BD．
6、如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE.
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°.
又CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED.
又∠BCD＝∠CDE＋∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝30°.
∴∠DBC＝∠DEC.
∴BD＝DE(等角对等边)．
等边三角形的性质与垂直
1、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（　　）
A.14 B.13 C.12 D.无法求出
【答案】A
【解析】∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴BE=AD，∠APQ=∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，在Rt△APQ中，PQ=6，AP=2PQ=12，∴BE=AD=AP+PD=12+2=14．故选A．
2、如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（ ）
①点P在∠A的平分线上；
②AS=AR；
③QP∥AR；
④△BRP≌△QSP．
A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅②③正确 D.仅①和③正确
【答案】A
【解析】∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠ARP=∠ASP=90°，∵PR=PS，AP=AP，∴Rt△ARP≌Rt△ASP，∴AR=AS，故②正确；
∠BAP=∠CAP，∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确；
∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，∵AQ=PQ，∴点Q是AC的中点，∴PQ是边AB对的中位线，∴PQ∥AB，故③正确；∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP，∴△BRP≌△QSP，故④正确，
∴全部正确．故选A．
3、如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BD=2，以AD为一边向右作等边三角形ADE．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断AC，DE的位置关系，并给出证明．
【答案】解 （1）∵在等边△ABC中，AD⊥BC，BD=2，∴BD=CD=2，∴BC=BD+CD=4，∴等边△ABC的周长为AB+BC+CA=3BC=12．
（2）AC，DE的位置关系为AC⊥DE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠C=60°，∠ADE=60°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．
4、如图，在等边三角形ABC中，点P是AB边上的任意一点（点P不与点A、点B重合），过点P作PD⊥AB，交直线BC于点D，作PE⊥AC，垂足为点F．求∠APE的度数.
【答案】解 ∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠APE=180°﹣∠A﹣∠AEP=180°﹣60°﹣90°=30°.
等边三角形的性质综合
1、如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（　　）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【答案】D
【解析】在△ABD和△BCE中，AB=BC，∠ABC=∠ACB，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠1=∠CBE，∵∠2=∠1+∠ABE，∴∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．故选D．
2、下面关于“等边三角形”的说法不正确的是（　　）
A.等边三角形的三条边都相等
B.等边三角形的三个内角都相等且都等于60°
C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质
【答案】D
【解析】A，B，C都是正确的；D、等边三角形除了和等腰三角形相同的性质，还具有三边相等、三个内角都相等、有三条对称轴的性质，是特殊的等腰三角形，所以等边三角形与等腰三角形具有相同的性质是错误的．故选：D．
3、如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　 　．（用含m，n的式子表示）
【答案】（m+n）
【解析】∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，∴∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，EA=BA，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴EC=BD，∵BO+OC=m，OE+OD=n，∴BO+OC+OE+OD=m+n，∴EC+BD=m+n，∴BD=（m+n）．
4、如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．
求证：（1）BD=CE；
（2）BM=CN．
【答案】证明 （1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
则在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD= AE，
∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（2）由（1）可知，∠DBA=∠ACE，
又∵AB=AC，∠BAC=∠CAD=60°，
则在△ABM和△ACN中，∠DBA=∠ACE，AB=AC，∠BAC=∠CAD，
∴△ABM≌△ACN，∴BM=CN．
定义判定等边三角形
1、一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【答案】D
【解析】∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，即三角形任意一边上的高与中线重合，∴这个三角形的三边都相等，∴这个三角形必为等边三角形．故选D．
2、若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则这个三角形是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】已知一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边，则角平分线分成的两个三角形全等（ASA），则这两个角所在的边均相等，即三边相等，所以这是一个等边三角形．故选C．
3、三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF．∵AD是中线，∴BD=CD．∴Rt△BDE≌Rt△CDF．∴∠B=∠C．∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形，所以等边三角形中任意一角的平分线都是这角所对边上的中线．故选：C．
4、如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个．
【答案】2
【解析】最多可作2个位置不同的等边三角形，如图．
5、如图，△ABC是等边三角形，分别延长AB至F，BC至D，CA至E，使AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，求证：△DEF是等边三角形．
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°．
∵AB=BC=CA，AF=3AB，BD=3BC，CE=3CA，
∴AF=BD=CE．
又∵AE=BF=CD，∴△AEF≌△BFD≌△DCE．
∴EF=FD=DE．即△DEF是等边三角形．
6、如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC．
（1）求证：DC=BC；
（2）如果∠C∶∠ADC=1∶2，求证：△CDB是等边三角形．
【答案】（1）证明 ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC．
（2）证明 ∵∠ADB=∠BDC，
∴∠BDC∶∠ADC=1∶2，
∵∠C∶∠ADC=1∶2，∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，由（1）可知DC=BC，
∴BD=BC=CD，
∴△CDB是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形
1、如图将边长为5cm的等边△ABC，沿BC向右平移3cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是　 　三角形，DM=　 　cm．
【答案】等边　3
【解析】∵AB∥DE，∴∠MEC=∠B，∠CME=∠A，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠MEC=∠EMC=∠ACB，
∴△MEC是等边三角形，
∵BE=3cm，∴EC=2cm，
∴DM=DE﹣EM=5﹣2=3(cm)．
2、在△ABC中，∠A=60°，∠B=　 　度时，△ABC是等边三角形．
【答案】60
【解析】因为三个内角都相等的三角形是等边三角形，即每个角均为60°，所以∠B=60°．
3、如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形．
【答案】证明 ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵AD⊥AC，AE⊥AB.
∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∠EAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．
4、如图，∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，试判断三角形ABC的形状，并说明理由．
【答案】解 三角形ABC为等边三角形．理由．
∵∠BAD=∠BDA=15°，∴AB=DB，因此将△ABC绕B点旋转，使A点与D点重合，连接CC′，
则△ABC≌△DBC′，∴BC=BC′，AC=DC′，∠BDC′=∠BAC，∠ABC=∠DBC′，
∵∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，
∴∠CDC′=∠CDA+∠BDA+∠BDC′=
∠CDA+∠BDA+∠BAC=∠CDA+∠BDA+∠CAD+∠BAD=30°+15°+45°+15°=105°，
∴∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=180°﹣45°﹣30°=105°，又CD=CD，
∴△ACD≌△C′DC，∴AD=CC′，∠CBC′=∠DBC′+∠CBD，∠ABD=∠ABC+∠CBD，∵∠ABC=∠DBC′，
∴∠CBC′=∠ABD=180°﹣15°﹣15°=150°，
∴∠BCC′=∠BC′C=15°，∴△ABD≌△CBC′，∴AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=∠BAD+∠CAD=15°+45°=60°，∴∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
1、等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　）
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰但非等边三角形
【答案】A
【解析】如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，∠F=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠F，∴AE=AF，又∠BAC=120°，∴∠FAE=60°．∴△AEF是等边三角形．故选A．
2、若一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　）
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.上述三种情形都有可能
【答案】C
【解析】因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．故选C．
3、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（　　）
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
【答案】C
【解析】①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°﹣120°=60°，底角为（180°﹣60°）÷2=60°，三角形为等边三角形；
②120°的角为底角的外角，则底角为180°﹣120°=60°，顶角为180°﹣60°×2=60°，三角形为等边三角形．故选C．
4、如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　 时，△AOP为等边三角形．
【答案】a
【解析】∵∠AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
5、已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，若∠A=60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
【答案】解 △DEC是等边三角形，理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥AB，∴∠CED=∠B，∴∠C=∠CDE；∴ED=EC，∵DE∥AB，∴∠DEC=∠A=60°，∴△DEC是等边三角形．
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，过A点沿直线AE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的D点处，连接DC，若AE=BE，求证：△ADC是等边三角形．
【答案】证明 根据折叠的性质得△ACE≌△ADE，AC=AD，∠ADE=∠ACB=90°，
∵AE=BE，∴AD=BD，
∴AB=2AD=2AC，∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴△ADC是等边三角形．
等边三角形的性质和判定
1、如图，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F是AB的中点．如果AB=BC=AC，那么与BD（BD除外）相等的线段共有（　　）
A.6条 B.5条 C.4条 D.3条
【答案】B
【解析】∵AB=BC=AC，且点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴AF=BF=AE=EC=CD=BD，∴与BD（BD除外）相等的线段共有5条．
故选B．
2、如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（　　）
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
【答案】A
【解析】∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是一个等边三角形．故选A．
3、“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．
【答案】解 由题意得∠ABC=180°-80°-40°=60°，BC=10×2=20（海里），
∵CD∥BE，
∴∠1=∠CBE=40°，
∵∠ACD=20°，
∴∠ACB=∠1+∠ACD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=20海里，
则货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．
4、如图所示，已知，AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．
【答案】证明 ∵AB=BC=AC，CD=DE=EC，
∴△ABC与△CDE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，AB=BC，∠ACD=∠BCE，CD=∠CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
等边三角形和等腰三角形的性质
1、如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（　　）
A.50° B.45° C.40° D.35°
【答案】B
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠ACD=60°+90°=150°，∵AC=CD，∴∠DAC=(180°-150°)÷2=15°，∴∠BAD=60°﹣15°=45°．故选B．
2、如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　）
A.75° B.80° C.70° D.85°
【答案】B
【解析】∵AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，∴∠ABC=∠ACB，AE=AD，∠AEB=∠ADC=60°，∠3=∠4=60°，∵∠EDC=40°，∴∠1=∠2=40°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°，∴2∠ABC=360°﹣40°﹣40°﹣60°﹣60°=160°，∴∠ABC的度数为80°．故选：B．
3、如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．
【答案】15
【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，因为DF＝DE，所以∠EFD＝∠E,又CG＝CD，所以∠CGD＝∠CDG=2∠E,所以∠ACB＝2∠CDG =4∠E =60°，所以∠E =15°．
4、如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数．
【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABE=40°，∴∠EBC=∠ABC
﹣∠ABE=60°﹣40°=20°，∵BE=DE，
∴∠D=∠EBC=20°，
∴∠CED=∠ACB﹣∠D=40°．
5、如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD=AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
【答案】解 ∵在等边三角形ABC中，
∴AB=AC（等边三角形的意义），
∵AD⊥BC（已知），
∴∠CAD=∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵∠BAC=60°（等边三角形的性质），
∴∠CAD=30°（等量代换），
∵AD=AC（已知），
∴∠ACD=∠ADC（等边对等角），
∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠ACD=75°（等式的性质），
∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠E=45°（等式的性质）．
等边三角形的性质和等腰三角形的判定
1、如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】B
【解析】根据已知条件易证△AOB，△AOC，△BOC，△BOD，△COE，△ODE均为等腰三角形．故答案选B．
2、如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　）
A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a
【答案】D
【解析】∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴CD=AC=×6=3，∠CBD=×60°=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=×60°=30°，∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长=6+3+a+a=9+2A．故选D．
3、如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　 ．
【答案】75°
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，∴∠1=90°-15°=75°．故答案为75°．
4、已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　 　；②　 　；③　 ；④　 ．
【答案】①DB=DE　②BD⊥AC　③∠DBC=∠DEC=30°　④△ABD≌△CBD　⑤△DCE∽△BDE　⑥∠CDE=30°　⑦BD平分∠ABC（任写其中四个都可以）
5、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求BC的长．
【答案】解 ∵△ABD是等边三角形，
∴∠B=∠BAD=∠ADB=60°，
∵AB=2，∴BD=AD=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC=90°﹣60°=30°，
∵∠ADB=60°，
∴∠C=30°，∴AD=DC=2，
∴BC=BD+DC=2+2=4，
∴BC的长为4．
等边三角形和等腰三角形的判定与性质
1、如图，P是△ABC的BC边上的一点，且BP=PA=AC=PC,则∠B的度数为（ ）
A.50° B.40° C.30° D.20°
【答案】C
【解析】∵PA=AC=PC，∴△APC是等边三角形，∠C=∠PAC=∠APC=60°；∵∠APC是△ABP的一个外角，∴∠APC=∠B+∠BAP=60°，∵BP=PA，∴∠B=∠BAP=60°÷2=30°．故选C．
2、如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（　　）
A.4倍 B.3倍 C.2倍 D.1倍
【答案】A
【解析】∵AC=CD=DA=BC=DE，∴△ACD是等边三角形，△BCA和△ADE均为等腰三角形，故知∠BAC=30°，而∠BAE=120°．故选A．
3、如图，等边三角形ABC的三条中线交于点O，则图中除△ABC外，还有　 　是等腰三角形．
【答案】△OAB，△OBC，△OAC
【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=90°，∵AE，BF，CD为等边三角形的中线，∴AE，BF，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠BAO=∠OAC=∠OCA=∠OCB=∠OBC=∠OBA=30°，∴△OAB，△OBC，△OAC都为等腰三角形．故答案为△OAB，△OBC，△OAC．
4、课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE=AD，求证：△ADE是等边三角形．
【答案】解 （1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C，∠A=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE（等角对等边），
∴△ADE是等腰三角形．
又∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BAC＝30°．
∵∠ADE为△ABD的外角，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°，
∵AE=AD，
∴△ADE是等边三角形．
含30°角的直角三角形的性质
1、若三角形的三个内角的比为1∶2∶3，则它的最短边与最长边的比为（ ）.
A.1∶3 B.1∶2 C.2∶3 D.1∶4
【答案】B
【解析】因为三角形的三个内角的比为1∶2∶3，所以这个三角形三个内角分别为30°，60°，90°，因此30°角所对直角边最短，斜边最长，根据“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知它的最短边与最长边的比为1∶2.
2、某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　　)
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元
【答案】B
【解析】延长CA且过点B作CA延长线的垂线，垂中为点D.
当∠CAB=150°时，∠BAD=30°，
在△BDC中，∠D=90°，∠BAD=30°， ∴BD=AB=×20=10（m），
∴×10×30=150(m2)，
∵每平米售价a元，所以共售价为150a元.∴选B.
3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，如图，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由．
【答案】解 如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD是该城市离台风中心最近的距离．
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=220 km，所以AD=110 km．
当台风到达点D时，城市A所受风力达到12-110÷20=6.5（级）．
故城市A受到此次台风影响．
4、在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.
【答案】解 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∴∠B=30°.∵AM平分∠BAC,
∴∠CAM=∠BAM=30°.∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15 cm.
∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.∴CM=AM=7.5 (cm)，
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5 (cm).
含30°角的直角三角形与等腰三角形
1、如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】如图，过点P作PD⊥MN，交MN于点D，
在Rt△OPD中，∠AOB＝60°，OP＝8，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP＝×8＝4，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝×2＝1，
∴OM＝OD－MD＝4－1＝3.
2、如图是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，则AB的长为(　　)
A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m
【答案】B
【解析】AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠BAC＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝7(m)．
3、如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　)
A.2个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【解析】根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造AB的中垂线；②以B为圆心，BA长为半径作圆；③以A为圆心，AB长为半径作圆；他们与直线BC或射线AC的交点即是点P，故符合条件的点P有5个．
4、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD= ．
【答案】6
【解析】∠CAD=30°，AD⊥AB，可得∠CAB=120°；由AB=AC可得∠B=∠C=30°，所以∠CAD=∠C=30°．所以CD=AD=3，在Rt△ABD中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2AD=6．
5、△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AB，AD=24，则BC=______．
【答案】72
【解析】根据题意画出图形，由已知得∠B=30°，所以BD=2AD=48，易知∠DAC=∠C=30°，所以CD=AD=24，所以BC=BD+CD=48+24=72.
6、某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积．
【答案】解 过点C作CE⊥AB于点E，如图，
∵AB＝AC＝10 m，∠ACB＝75°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠A＝30°，
∵CE⊥AB，
∴△ACE是直角三角形，
∴EC＝AC＝5(m)，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝AB＝5(m)，
∴S△ACD＝×AD×CE＝ (m2)，
即所求的面积为m2.
7、如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
【答案】解 ∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD=CD=20米，
又∵∠ABD=90°，
∴AB=AD=10米，
∴树的高度为10米．
含30°角的直角三角形与等边三角形
1、如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ）
A.2 B.3 C.1 D.8
【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC．∠BAC=∠C．
又∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD=∠CAE．
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．
∴∠BPF=∠APD=60°．
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°．
∴PF=PB=×4=2．
故选A．
2、如图，△ABC为等边三角形，BD为∠ABC的平分线，交AC于D，DE⊥BC，垂足为E，若EC=1cm，则AB的长度为（　　）
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=1cm，∴CD=2EC=2(cm)，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD=CD=2cm，∴AB=AC=AD+CD=4(cm)．故选：C．
3、如图，在等边△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE等于（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，AD是它的角平分线，∴BD=BC=×8=4，∠B=60°．∵DE⊥AB，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=2．故选C．
4、如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB＝12 cm，则CE＝______ cm.
【答案】3
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝12 cm，∠C＝60°，
而AD⊥BC，∠DAC＝30°，
∴DC＝AC＝6(cm)，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝DC＝3(cm)．
5、如图所示，AD和BE是等边三角形的两条高，其交点为O，若OD=4，则AD=______.
【答案】12
【解析】∵AD和BE是等边三角形的高，∴∠DBO=∠ABO=∠BAO=30°，在Rt△OBD中，∵OD=4，∴BO=2OD=2×4=8，BO=AO，∴AO=8，∴AD=AO+OD=8+4=12．故答案为：12．
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC．求证：∠B=30°．
【答案】证明 取AB的中点D，连接CD，则CD=AB,
∵AC=AB=AD,
∴△ACD为等边三角形,
∴∠A=60°.
∵∠A＋∠B=90°，
∴∠B=30°.
反证法
1、若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A.至少有一个角是钝角或直角
B.没有一个角是锐角
C.没有一个角是钝角或直角
D.每一个角都是钝角或直角
【答案】C
2、已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
②因此假设不成立．∴∠B＜90°，
③假设在△ABC中，∠B≥90°，
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【答案】D
【解析】运用反证法证明这个命题的四个步骤③假设在△ABC中，∠B≥90°，
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
②因此假设不成立．∴∠B＜90°．
故选：D．
3、用反证法证明一个命题的结论“a＜b”时应假设（　　）
A.a＞b B.a≤b C.a=b D.a≥b
【答案】D
4、“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设____________________．
【答案】对角线不互相平分的四边形是平行四边形
5、反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”.如图，两条直线m，n被直线l所截，已知∠1≠∠2．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为 ．
【答案】m∥n
6、用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
【答案】证明 假设△ABC的三个外角中至少有两个直角，
则△ABC的三个内角中至少有两个直角，不妨设∠B=∠C=90°，
所以∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．

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