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北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 暑期巩固
直角三角形的性质
1、如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的角是（　　）
A.∠1与∠2
B.∠2与∠3
C.∠1与∠3
D.三个角都相等
2、如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（　　）
A.100° B.105° C.110° D.120°
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，则∠B的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
4、如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C=90°，则图中∠1+∠2的度数为 ．
5、在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系．
勾股定理
1、如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，PB2﹣PA2的值为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.12
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
3、如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　）
A. B. C. D.
4、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 　 　．
5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长．
最短路径问题
1、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　）
A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm
2、小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
3、如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　）
A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm
4、一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　 　米．
5、阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5．这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的．”
任务：
（1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做　 　定理；
（2）请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺．
勾股定理的逆定理
1、下列结论正确的是（　　）
A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5
B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°
C.若三角形的三边长之比为8∶16∶17，则该三角形是直角三角形
D.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形
2、已知三角形的三边长为a，b，c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则△ABC是（　　）
A.以a为斜边的直角三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.不是直角三角形
3、如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（　　）
A. B. C. D.
4、如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　 　°．
5、如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝9，AC＝BD＝6．CD＝3，则图中阴影部分的面积为 　 　．
6、一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
勾股数
1、下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A.32，42，52
B.3，4，7
C.0.5，1.2，1.4
D.9，12，15
2、下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（　　）
A.0.3；0.4；0.5
B.1；；
C.6；7；8
D.11；60；61
3、观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…）
4、勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，c=，m是大于1的奇数，则b＝　 　（用含m的式子表示）．
5、如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，求证：a，b，c为勾股数．
6、清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　 　（最大数不超过18）；
（2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．
互逆命题与互逆定理
1、下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A.若a=b,则a2=b2
B.对顶角相等
C.若a＞b,则a2＞b2
D.两直线平行，同位角相等
2、下列命题为真命题的是（　　）
A.相等的角是对顶角
B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C.和为180°的两个角互为邻补角
D.邻补角互补
3、命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是 .这个逆命题是 命题．（填真或假）
4、命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
5、（1）已知，如图在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D，G在AB上，FG∥CD，∠BFG=∠CDE．求证：∠AED=∠ACB；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
6、（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；
（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
用HL判定三角形全等
1、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
2、如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC
3、如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
4、如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
5、如图，∠D，∠C为直角，AE=EB，试在图中找出2对全等的三角形，并说出你的理由．
用HL证明边或角相等
1、如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
2、如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF．求证：∠B=∠C．
4、如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证：
(1)△ABC是等腰三角形；
(2)点D在∠BAC的角平分线上．
HL的应用
1、如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2、如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
3、如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）G点一定是AB的中点吗？说明理由；
（2）钉这两块木条的作用是什么？
4、小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C，D为垂足，用三角板作OA，OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．
求高度或距离
1、如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　）
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
2、如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　）
A.3米 B.6米 C.9米 D.10米
3、如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
则风筝的高度CE是 　 　米．
4、如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　 　km.
5、如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
北师大版（2024）八年级下册 1.3 直角三角形 暑期巩固（参考答案）
直角三角形的性质
1、如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的角是（　　）
A.∠1与∠2
B.∠2与∠3
C.∠1与∠3
D.三个角都相等
【答案】B
【解析】∵两张长方形卡片叠在一起，
∴∠C=∠D=∠A=∠B=∠AEF，
∵∠CEG+∠DEF=90°，∠CEG+∠CGE=90°，
∴∠CGE=∠DEF，
∵∠3+∠CGE=180°，∠1+∠DFE=180°，
∴∠1与∠3的大小无法判定；
∵∠AHG=∠BHK，∠AGH+∠AHG=90°，∠BHK+∠BKH=90°，
∴∠AGH=∠BKH，
∵∠3+∠AGH=180°，∠2+∠BKH=180°，
∴∠2=∠3．
故选：B．
2、如图，直线a∥b,△ABC是直角三角形，∠C=90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1=20°，则∠2的度数（　　）
A.100° B.105° C.110° D.120°
【答案】C
【解析】延长BC交直线b于点F，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∵∠1=20°，
∴∠AFC=90°-∠1=70°，
∵直线a∥b,
∴∠DEC+∠AFC=180°，
∴∠DEC=180°-70°=110°，
∴∠2=∠DEC=110°，
故选：C．
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=55°，则∠B的度数为（　　）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【答案】B
【解析】∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=55°，
∴∠B=35°，
故选：B．
4、如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C=90°，则图中∠1+∠2的度数为 ．
【答案】270
【解析】∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°-90°=270°，
故答案为：270．
5、在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系．
【答案】解 （1）∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+60°+∠1=180°，
解得∠1=40°．
（2）∠AEF+∠FGC=90°，理由如下：
如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP，
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，
∵∠EFG=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°．
（3）∠AEG+∠CFG=300°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴∠AEG-∠FEG+∠CFG-∠EFG=180°，
∵∠FEG=30°，∠EFG=90°，
∴∠AEG-30°+∠CFG-90°=180°，
∴∠AEG+∠CFG=300°．
勾股定理
1、如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任一点，PB2﹣PA2的值为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】∵△PBC与△PAC是直角三角形，AC＝2，BC＝4，
∴PB2＝PC2+BC2，PA2＝PC2+AC2，
∴PB2﹣PA2＝PC2+BC2﹣PC2﹣AC2＝BC2﹣AC2＝42﹣22＝16﹣4＝12．
故选：D．
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BH平分∠ABC，BH＝6，P是边AB上一动点，则H，P之间的最小距离为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解析】过点H作HP⊥AB，即HP的长即可为H，P之间的最小距离，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BH平分∠ABC，
∴∠CBH＝∠ABC＝30°，CH＝PH，
∴CH＝PH＝BH＝3，即H，P之间的最小距离为3．
故选：B．
3、如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是﹣2，∠ACB＝90°，BC＝，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵数轴上点A对应的数是2，点C对应的数是﹣2，
∴AC＝4，
∵∠ACB＝90°，
由勾股定理得，AB＝＝＝2，
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，
∴AD＝AB＝2，
∵点D在原点的左侧，
∴点D表示的数为﹣（2﹣2）＝2﹣2，
故选：D．
4、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 　 　．
【答案】16
【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝＝10，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．
故答案为：16．
5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长．
【答案】解 ∵AD平分∠CAB，
又∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∵BD＝5，
∴BE＝＝4．
最短路径问题
1、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　）
A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm
【答案】C
【解析】将长方体展开，连接AB′，
则AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm．
故选：C．
2、小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【答案】C
【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，
∵AB＝12，BC＝18＝9，
∴装饰带的长度＝2AC＝2×＝30（cm），
故选：C．
3、如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（点B为棱的中点），那么所用细线最短为（　　）
A.20cm B.24cm C.26cm D.28cm
【答案】C
【解析】如图所示，将长方体的侧面展开，AC＝2（5+7）＝24（cm），
BC＝＝10（cm），
由勾股定理可得，AB＝＝＝26（cm），
∴所用细线最短为26cm，
故选：C．
4、一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　 　米．
【答案】13
【解析】如图所示，
∵AC＝12m，BC＝5m，
∴AB＝（m）
答：梯子最短需要13m．
故答案为13．
5、阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
中国最早的一部数学著作﹣﹣《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5．这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的．”
任务：
（1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做　 　定理；
（2）请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺．
【答案】解 （1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理．故答案为：勾股．
（2）如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3＝15（尺），
因此葛藤长为＝25（尺）．
答：问题中葛藤的最短长度是25尺．
勾股定理的逆定理
1、下列结论正确的是（　　）
A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5
B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°
C.若三角形的三边长之比为8∶16∶17，则该三角形是直角三角形
D.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，故A说法错误，不符合题意；
△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，故B说法错误，不符合题意；
若三角形的三边长之比为8∶16∶17，其三边不符合勾股定理的逆定理，则该三角形不是直角三角形，故C说法错误，不符合题意；
在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则∠C＝180°×＝90°，则△ABC是直角三角形，故D说法正确，符合题意；
故选：D．
2、已知三角形的三边长为a，b，c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则△ABC是（　　）
A.以a为斜边的直角三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.不是直角三角形
【答案】C
【解析】∵（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13，
∵52+122＝132，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选：C．
3、如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，
∵AB＝6，AC＝8，
∴CD≤8，
∴当CD与AC重合时，CD最长为8，
此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，
∴BC＝＝10，
∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，
故选：C．
4、如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　 　°．
【答案】90．
【解析】∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5，
∵BC＝4，
∴AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
故答案为90．
5、如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝9，AC＝BD＝6．CD＝3，则图中阴影部分的面积为 　 　．
【答案】9﹣9
【解析】∵∠BDC＝90°，BD＝6，CD＝3，
∴BC＝＝＝3，
∵AB＝9，AC＝6，
∴AC2+BC2＝62+（3）2＝36+45＝81＝92＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝×6×3﹣×6×3＝9﹣9．
故答案为：9﹣9．
6、一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
【答案】解 ∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15，
∴AB2+AD2＝BD2，
BD2+BC2＝DC2．
∴△ABD，△BDC是直角三角形．
∴∠A＝90°，∠DBC＝90°．
故这个零件符合要求．
勾股数
1、下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A.32，42，52
B.3，4，7
C.0.5，1.2，1.4
D.9，12，15
【答案】D
【解析】A.∵32＝9，42＝16，52＝25，92+162＜252，故选项错误，不符合题意；
B.∵32+42＜72，故选项错误，不符合题意；
C.∵0.5，1.2，1.4不符合勾股数定义，故选项错误，不符合题意；
D.∵92+122＝81+144＝225＝152，故选项正确，符合题意．
故选：D．
2、下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（　　）
A.0.3；0.4；0.5
B.1；；
C.6；7；8
D.11；60；61
【答案】D
【解析】A.0.3，0.4，0.5，不是正整数，不符合勾股数的定义；
B.1；；，不是正整数，不符合勾股数的定义；
C.62+72≠82，不符合勾股数的定义；
D.112+602＝612，符合勾股数的定义．
故选：D．
3、观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…）
【答案】17
【解析】145=，
所以a＝17．
故答案为17．
4、勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，c=，m是大于1的奇数，则b＝　 　（用含m的式子表示）．
【答案】m
【解析】∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a＝m2﹣， c=，
∴b2＝c2﹣a2
＝（m2+）2﹣（m2﹣）2
＝m4++m2﹣（m4+﹣m2）
＝m4++m2﹣m4﹣+m2＝m2，
∵m是大于1的奇数，
∴b＝m．
故答案为：m．
5、如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，求证：a，b，c为勾股数．
【答案】证明 a，b，c为勾股数，理由如下：
∵a2+b2
＝（2m）2+（m2﹣1）2
＝m4+2m2+1．
又c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，
∴a2+b2＝c2．
即a，b，c能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．
∴a，b，c为勾股数．
6、清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　 　（最大数不超过18）；
（2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．
【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5．
故答案为：3，4，5．
（2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2．
证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2
＝k2+k4+1﹣k2
＝k4+k2+1；
右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1．
∴左边＝右边，
∴等式成立．
互逆命题与互逆定理
1、下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A.若a=b,则a2=b2
B.对顶角相等
C.若a＞b,则a2＞b2
D.两直线平行，同位角相等
【答案】D
【解析】A，若a=b,则a2=b2的逆命题是若a2=b2，则a=b,逆命题是假命题，不符合题意；
B，对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
C，若a＞b,则a2＞b2的逆命题是若a2＞b2，则a＞b,逆命题是假命题，不符合题意；
D，两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意；
故选：D．
2、下列命题为真命题的是（　　）
A.相等的角是对顶角
B.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C.和为180°的两个角互为邻补角
D.邻补角互补
【答案】D
【解析】A.相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C.和为180°的两个角不一定是互为邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D.邻补角互补，是真命题，符合题意；
故选：D．
3、命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是 .这个逆命题是 命题．（填真或假）
【答案】三个角都相等的三角形是等边三角形 真
4、命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】命题“如a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是如果|a|=|b|，那么a=b,
是假命题，
故答案为：假．
5、（1）已知，如图在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D，G在AB上，FG∥CD，∠BFG=∠CDE．求证：∠AED=∠ACB；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
【答案】（1）证明 ∵FG∥CD，
∴∠BFG=∠BCD，
∵∠BFG=∠CDE，
∴∠BCD=∠CDE，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB．
（2）解 在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题是两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行．
6、（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；
（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
【答案】解 （1）∵DE∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD∥FG，
∵CD⊥AB，
∴FG⊥AB．
（2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴FG∥CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴DE∥BC．
用HL判定三角形全等
1、如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( )
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
【答案】C
【解析】①△ABC≌△DCB ∵AB∥EF∥DC ∴∠ABC=∠DCB
∵AB=DC，BC=BC ∴△ABC≌△DCB；
②△ABE≌△CDE ∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，AB=DC，∴△ABE≌△CDE；
③△BFE≌△CFE，∵BE=EC，EF=EF，∠BEF=∠CEF，∴△BFE≌△CFE．
∴图中的全等三角形共有3对．
2、如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC
【答案】D
【解析】条件是AB=CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选D．
3、如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是 .
【答案】AB=CD
【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等．
4、如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
【答案】证明 ∵BF=EC，
∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
5、如图，∠D，∠C为直角，AE=EB，试在图中找出2对全等的三角形，并说出你的理由．
【答案】解 Rt△ADE≌Rt△BCE，Rt△ADB≌Rt△BCA．
理由如下：∵∠D，∠C为直角，∠AED=∠CEB，AE=EB，
∴△ADE≌△BCE；
∴AD=BC，又AB为公共边，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA．
用HL证明边或角相等
1、如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　）
A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.OB=OD D.OA=OD
【答案】C
【解析】用HL证明边或角相等.
∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，∴∠A=∠D=90°（A正确）．
又∵AC=DB，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB（B正确），
∴AB=CD．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴OA=OD（D正确）．
C中OD，OB不是对应边，不相等．故选C．
2、如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为(　　)
A.55° B.45° C.35° D.65°
【答案】B
【解析】∵∠AFD＝135°，∴∠CFD＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠FDC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)，
∴∠BDE＝∠CFD＝45°，
∴∠EDF＝180°－∠FDC－∠BDE＝45°.
3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF．求证：∠B=∠C．
【答案】证明 ∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD（HL），
∴∠B=∠C.
4、如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，且BF＝CE.求证：
(1)△ABC是等腰三角形；
(2)点D在∠BAC的角平分线上．
【答案】证明 (1)∵D是BC边上的中点，
∴DB＝DC，
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在Rt△BDF和Rt△CDE中
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
(2)∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF＝DE，
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴点D在∠BAC的角平分线上．
HL的应用
1、如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则下列结论：（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF中正确的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
则（1）AB=DE，正确；
（2）∠ABC+∠DFE=90°，正确；
（3）∠ABC=∠DEF．故选 C．
2、如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若∠ABC=32°，则∠DFE的度数为（　　）
A.32° B.28° C.58° D.45°
【答案】C
【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF=∠ABC，
∵∠ABC=32°，
∴∠DFE=90°-32°=58°．故选C．
3、如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）G点一定是AB的中点吗？说明理由；
（2）钉这两块木条的作用是什么？
【答案】解 （1）是，理由：在正方形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=BF，在Rt△AEG和Rt△BFG中，，
∴△AEG≌△BFG（HL），
∴AG=GB，
故G点一定是AB的中点；
（2）结合图形可知，利用三角形的稳定性，使窗架稳定．
4、小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C，D为垂足，用三角板作OA，OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．
【答案】解 小明的做法有道理．
理由如下：在Rt△OPC和Rt△OPD中，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP就是∠AOB的角平分线．
求高度或距离
1、如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　）
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
【答案】C
【解析】∵△ABC是直角三角形，BC＝3米，AB＝5米，
∴AC＝＝4（米），
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，
故选：C．
2、如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　）
A.3米 B.6米 C.9米 D.10米
【答案】C
【解析】由题意可知，∠ACB＝90°，
∵AB＝15米，BC＝12米，
∴AC＝（米），
故选：C．
3、如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
则风筝的高度CE是 　 　米．
【答案】13.6
【解析】∵BD⊥CE，
∴∠BDC＝90°，
由勾股定理得，
CD＝＝＝12（米），
∵四边形BAED是矩形，
∴DE＝AB＝1.6（米），
∴CE＝CD+DE＝12+1.6＝13.6（米），
故答案为：13.6．
4、如图，在笔直的铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．则E应建在距A　 　km.
【答案】15
【解析】设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得：
∵DE＝CE，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2，
故102+x2＝（25﹣x）2+152，
解得；x＝15．
故答案为：15．
5、如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，
∴AC=（米），
∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴BC=（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，
答：此人需向右移动的距离为（）米．
（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
且此人以0.5米每秒的速度收绳，
∴收绳时间，
答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．

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