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北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 暑期巩固
求边长或坐标
1、如图，在 ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　)
A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH
2、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　)
A.4 B.3 C. D.2
3、如图， ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________.
4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)， (5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________．
5、如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
6、如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长.
求周长或面积
1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(　　)
A.m＋n B.mn C.2(m＋n) D.2(n－m)
2、如图，在平行四边形ABCD中，AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm
3、如图，平行四边形ABCD周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC长(　　)
A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm
4、 ABCD中，AB＝8，周长等于24，则AD＝__________.
5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
平行四边形的对角相等
1、在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
2、如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
3、若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是(　　)
A.120° B.90° C.60° D.45°
4、如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.
5、如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D，∠BAD的度数．
平行四边形的对角线互相平分
1、如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
2、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则AB＋AD的值是(　　)
A.10 B.15 C.25 D.30
3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于一点O，AB＝11，△OCD的周长为27，则AC＋BD＝________.
4、已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝.
(1)求平行四边形ABCD的面积S ABCD；
(2)求对角线BD的长．
平行四边形的判定
1、在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是(　　)
A.一组对边平行，另一组对边相等
B.一组对边相等，一组对角相等
C.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D.一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
2、在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A.∠A＝∠B，∠C＝∠D
B.AB∥CD，AD＝BC
C.AB＝BC，AD＝DC
D.AB∥CD，∠B＝∠D
3、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1 cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2 cm/s的速度移动，若AB＝7 cm，CD＝9 cm，则________s时四边形ADFE是平行四边形．
4、如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)当t＝__________ s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形性质与判定的综合
1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作DF∥AC交AB于点F，过点C作CE∥AB交FD的延长线于点E.则下列结论正确的是(　　)
A.DC＋DF＝AB B.BD＋DC＝DF C.CE＋DF＝AB D.CE＋DC＝BD
3、如图，△ABC中，AB＝AC＝15，D在BC边上，过点D作DE∥BA交AC于点E，过点D作DF∥CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是(　　)
A.30 B.25 C.20 D.15
4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC交BC于点E.△ABE的周长是25 cm，四边形ABCD的周长是37 cm，那么AD＝________ cm.
5、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接ED，FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．
平行线之间的距离
1、如图所示，M是 ABCD的边AB上任意一点，若△CMD的面积为S，△CBM的面积为S1，△ADM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是(　　)
A.S＞S1＋S2
B.S＝S1＋S2
C.S＜S1＋S2
D.S与S1＋S2的大小关系无法确定
2、如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n.则下列说法正确的是(　　)
A.AC＝BP
B.△ABC的周长等于△BCP的周长
C.△ABC的面积等于△ABP的面积
D.△ABC的面积等于△PBC的面积
3、如图所示，能表示直线AB，CD之间距离的是线段(　　)
A.PQ的长度 B.PM的长度 C.PN的长度 D.以上都不对
4、如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________．
5、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值.
梯形的分类
1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF∥BC，则图形等腰梯形有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
2、下列梯形，是等腰梯形的是（ ）.
A. B. C. D.
3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF⊥BC.则图中的等腰梯形为 ，直角梯形为 .
4、已知平行四边形ABCD，以点D为圆心，以DC长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：
（1）△DCE为等腰三角形；
（2）四边形ABED为等腰梯形.
梯形的计算及相关证明
1、如图，四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是（1，2）（3，0），则B点坐标是（　　）
A.（3，2） B.（2，3） C.（2，2） D.无法确定
2、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E为CD中点，联结AE，作AF⊥AE交BC于点F．如果，，且∠DAE＝30°，那么BF的长为（　　）
A. B. C. D.
3、如图在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝5，BC＝4，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
4、如图，将梯形ABCD沿直线AB的方向平移到梯形A'B'C'D'的位置，其中AD∥BC，∠ABC＝90°，D′C′交BC于点M．若BM＝5cm，CM＝1cm，BB'＝2cm，则图中阴影部分的面积为 　 　 cm2．
5、已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝5，那么梯形ABCD的周长为　 　 ．
6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 暑期巩固（参考答案）
求边长或坐标
1、如图，在 ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　)
A.AG平分∠DAB B.AD＝DH C.DH＝BC D.CH＝DH
【答案】D
【解析】根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∴∠DAH＝∠BAH，
∵CD∥AB，
∴∠DHA＝∠BAH，
∴∠DAH＝∠DHA，
∴AD＝DH，
∴BC＝DH，故选D.
2、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为(　　)
A.4 B.3 C. D.2
【答案】B
【解析】∵在 ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，
∴AD∥BC，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC＝AB，
∵AD＝7，AE＝4，
∴AB=DE＝3.
故选B.
3、如图， ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________.
【答案】3
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴AD－DE＝BC－BF，
∴AE＝CF，
∵AE＝3，
∴CF＝3.
4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)， (5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________．
【答案】(7,3)
【解析】因为CD∥AB，
所以C点纵坐标与D点相同，为3，
又因为AB＝CD＝5，
故可得C点横坐标为7.故答案为(7,3)．
5、如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又∵F是AD的中点，
∴FD＝AD.∵CE＝BC，
∴FD＝CE.
又∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
∴DE＝CF.
(2)过D作DG⊥CE于点G.如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6.
∴∠DCE＝∠B＝60°.
在Rt△CDG中，∠DGC＝90°，
∴∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝2.
由勾股定理得DG＝＝2.
∵CE＝BC＝3，
∴GE＝1.
在Rt△DEG中，∠DGE＝90°，
∴DE＝＝.
∴AF∥CE.
6、如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴BE=2BF，
∴BF=12，
∴AB===13，
∴AE=AB=13，
∴BC=AD=AE+DE=13+5=18.
求周长或面积
1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(　　)
A.m＋n B.mn C.2(m＋n) D.2(n－m)
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝m，AD＝BC＝n，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝DE＋CE＋DC＝DE＋AE＋DC＝AD＋DC＝m＋n，
故选A.
2、如图，在平行四边形ABCD中，AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm
【答案】D
【解析】∵AC=4 cm,△ADC的周长为13 cm,
∴AD+DC=13-4=9（cm），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长为2（AD+DC）=18（cm）.
故选：D．
3、如图，平行四边形ABCD周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC长(　　)
A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.8 cm
【答案】D
【解析】∵ ABCD的周长是28 cm，
∴AB＋BC＝14 (cm)，
∵△ABC的周长是22 cm，
∴AC＝22－(AB＋BC)＝8(cm)，
故选D.
4、 ABCD中，AB＝8，周长等于24，则AD＝__________.
【答案】4
【解析】∵ ABCD中，AB＝8，周长等于24，
∴AB＋AD＝12，
∴AD＝12－8＝4.
5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，∴BE＝CD.
(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4.
平行四边形的对角相等
1、在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
【答案】C
【解析】由折叠可得∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE，
∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝130°，
∴∠FEC＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＋∠FEC＝180°，
∴∠DFE＝115°，
∴∠GFE＝115°，
故选C.
2、如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°.
故选C.
3、若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是(　　)
A.120° B.90° C.60° D.45°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠B∶∠C＝1∶2，
∴∠B＝×180°＝60°，
故选C.
4、如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.
【答案】70°
【解析】∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°.
5、如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D，∠BAD的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，
∵EA平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°.
平行四边形的对角线互相平分
1、如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
∵ ABCD的周长为26，
∴BC＋AB＝13，①
∵△BOC与△AOB的周长之差为3，
∴(OB＋OC＋BC)－(OA＋OB＋AB)＝3，即BC－AB＝3，②
由①＋②，得2BC＝16，
∴BC＝8.
故选D.
2、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则AB＋AD的值是(　　)
A.10 B.15 C.25 D.30
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为10，即CD＋DE＋EC＝10，
∴AB＋AD＝BC＋CD＝BE＋EC＋CD＝DE＋EC＋CD＝10.
故选A.
3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于一点O，AB＝11，△OCD的周长为27，则AC＋BD＝________.
【答案】32
【解析】∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于一点O，AB＝11，
∴CD＝11，
∵△OCD的周长为27，
∴CO＋DO＝27－11＝16，
∴AC＋BD＝32.
4、已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝.
(1)求平行四边形ABCD的面积S ABCD；
(2)求对角线BD的长．
【答案】解：(1)在Rt△ABC中，AC＝＝2，
则S ABCD＝AB· AC＝2.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC=AC=1，BO＝OD，
在Rt△ABO中，BO＝＝，
∴BD＝2.
平行四边形的判定
1、在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是(　　)
A.一组对边平行，另一组对边相等
B.一组对边相等，一组对角相等
C.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D.一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
【答案】C
【解析】A．错误，这个四边形有可能是等腰梯形；
B．错误，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行；
C．正确，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，故是平行四边形；
D．错误，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．
故选C.
2、在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A.∠A＝∠B，∠C＝∠D
B.AB∥CD，AD＝BC
C.AB＝BC，AD＝DC
D.AB∥CD，∠B＝∠D
【答案】D
【解析】A．∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∴2∠B＋2∠C＝360°，∴∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD，但不能推出其他条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B．根据AB∥CD，AD＝BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C．根据AB＝BC，AD＝DC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
D．由AB∥CD，∠B＝∠D可以推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确.
故选D.
3、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1 cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2 cm/s的速度移动，若AB＝7 cm，CD＝9 cm，则________s时四边形ADFE是平行四边形．
【答案】3
【解析】设t s时四边形ADFE是平行四边形，当四边形ADFE是平行四边形时，AE＝DF，即t＝9－2t，解得t＝3，故3 s时四边形ADFE是平行四边形．
4、如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)当t＝__________ s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】2或6
【解析】①当点F在C的左侧时，
根据题意得AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BC－BF＝(6－2t) cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6－2t，解得t＝2；
②当点F在C的右侧时，
根据题意得AE＝t cm，BF＝2t cm，则CF＝BF－BC＝(2t－6)cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t－6，解得t＝6.
综上可得当t＝2或6时，以A, C, E, F为顶点的四边形是平行四边形．
5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
∵∠ADE＝∠CBF，∠EAD＝∠FCB，AE＝CF，
∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形性质与判定的综合
1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】由平行四边形的判定方法可知，若是四边形的对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以.
故选B.
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作DF∥AC交AB于点F，过点C作CE∥AB交FD的延长线于点E.则下列结论正确的是(　　)
A.DC＋DF＝AB B.BD＋DC＝DF C.CE＋DF＝AB D.CE＋DC＝BD
【答案】C
【解析】∵DF∥AC，CE∥AB，
∴四边形AFEC为平行四边形，
∴AC＝EF，
∵AB＝AC，∴EF＝AB，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠BCE，
∵DF∥AC，
∴∠ACB＝∠FDB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∴∠FDB＝∠BCE，
∵∠FDB＝∠CDE，
∴∠BCE＝∠CDE，
∴ED＝EC，∵EF＝DE＋DF，
∴AB＝EC＋DF.
故选C.
3、如图，△ABC中，AB＝AC＝15，D在BC边上，过点D作DE∥BA交AC于点E，过点D作DF∥CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是(　　)
A.30 B.25 C.20 D.15
【答案】A
【解析】∵AB＝AC＝15，∴∠B＝∠C，由DF∥AC，得∠FDB＝∠C＝∠B，∴FD＝FB，同理，得DE＝EC.∴四边形AFDE的周长＝AF＋AE＋FD＋DE＝AF＋FB＋AE＋EC＝AB＋AC＝15＋15＝30.
故选A.
4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，作AE∥DC交BC于点E.△ABE的周长是25 cm，四边形ABCD的周长是37 cm，那么AD＝________ cm.
【答案】6
【解析】∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，AD＝EC，又∵△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝25 cm，四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝37 cm，∴AD＝(四边形ABCD的周长－△ABE的周长)＝6(cm).
5、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接ED，FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF (ASA)，
∴AE＝CF.
(2)解：是平行四边形；连接BD交AC于点O，如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF.即EO＝FO.
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
平行线之间的距离
1、如图所示，M是 ABCD的边AB上任意一点，若△CMD的面积为S，△CBM的面积为S1，△ADM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是(　　)
A.S＞S1＋S2
B.S＝S1＋S2
C.S＜S1＋S2
D.S与S1＋S2的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
设AB边上的高为h,△CMD，△CBM，△ADM的高都等于平行四边形的高h,
∵△CMD的面积为S＝CD·h，
△CBM的面积为S1＝BM·h，
△ADM的面积为S2＝AM·h，AB=CD,
∴S1＋S2＝BM·h＋AM·h＝(BM＋AM)·h＝AB·h＝CD·h＝S，
则S，S1，S2的大小关系是S＝S1＋S2.
故选B.
2、如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n.则下列说法正确的是(　　)
A.AC＝BP
B.△ABC的周长等于△BCP的周长
C.△ABC的面积等于△ABP的面积
D.△ABC的面积等于△PBC的面积
【答案】D
【解析】∵A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，根据平行线之间的距离相等可得△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．
故选D.
3、如图所示，能表示直线AB，CD之间距离的是线段(　　)
A.PQ的长度 B.PM的长度 C.PN的长度 D.以上都不对
【答案】D
【解析】∵不能确定直线AB，CD的位置关系，∴无法确定直线AB，CD之间距离.
故选D.
4、如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________．
【答案】10
【解析】过点A作AF⊥BD于点F，
∵△ABD的面积为16，BD＝8，
∴BD·AF＝×8AF＝16，
解得AF＝4，
∵AE∥BD，
∴AF的长是△ACE的高的长，
∴S△ACE＝×4AE＝×4×5＝10.
5、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且△ADB ≌△CBD，
∴S△ABD=S△CBD=S平行四边形ABCD，
∵点E为AB边中点，
∴S△ADE=S△BDE=S平行四边形ABCD，
∵FB=2DF，
∴S△DEF=S△BDE=S平行四边形ABCD，
∵AB∥CD，
∴S△CDE=S△DBC=S平行四边形ABCD，
∴S△DEF∶S△CDE=S平行四边形ABCD∶S平行四边形ABCD=1∶6．
梯形的分类
1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF∥BC，则图形等腰梯形有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
解：根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形.图中符合题意的等腰梯形为梯形ABCD和梯形AEFD和梯形BEFC.
故选C
2、下列梯形，是等腰梯形的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.从图中可看出，符合题意是选项C.
3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF⊥BC.则图中的等腰梯形为 ，直角梯形为 .
【答案】
四边形ABCD；四边形ABFE和四边形EFCD.
【解析】
解：根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形.图中符合题意的等腰梯形为四边形ABCD；根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.图中符合题意的直角梯形有两个，它们四边形ABFE和四边形EFCD.
故答案为四边形ABCD；四边形ABFE和四边形EFCD.
4、已知平行四边形ABCD，以点D为圆心，以DC长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：
（1）△DCE为等腰三角形；
（2）四边形ABED为等腰梯形.
【答案】
证明：（1）由作图可知，DE=DC
∴△DCE为等腰三角形.（有两边相等的三角形叫等腰三角形）.
（2）∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，即AD∥BE，AB=DC
∴四边形ABED为梯形（梯形的定义）
∵DE=DC，AB=DC
∴AB=DE
∴梯形ABED为等腰梯形.（等腰梯形的定义）
梯形的计算及相关证明
1、如图，四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是（1，2）（3，0），则B点坐标是（　　）
A.（3，2） B.（2，3） C.（2，2） D.无法确定
【答案】C
【解析】
解：∵四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是（1，2）（3，0），
∴OA＝BC，AB∥OC，
∴B（2，2），
故选：C．
2、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E为CD中点，联结AE，作AF⊥AE交BC于点F．如果，，且∠DAE＝30°，那么BF的长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：延长AE交BC的延长线于M，
∵点E为CD中点，
∴DE＝CE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CME＝30°，∠ADE＝∠ECM，
∴△ADE≌△MCE（AAS），
∴CM＝AD，AE＝EM＝2，
∴AM＝4，
过A作AG⊥BC于G，过D作DH⊥BC于H，
则∠AGM＝90°，AG＝DH，GH＝AD，
∴AGAM＝2，
∴GM6，
∴CH＝GM﹣GH﹣CM＝6﹣2，
∵AB＝CD，AG＝DH，
∴Rt△ABG≌Rt△DCH（HL），
∴BG＝CH＝6﹣2，
∴∠FAM＝90°，
∵AF⊥AE，
∴AFFM，
∵AF2+AM2＝FM2，
∴（FM2，
∴FM＝8，
∴FG＝FM﹣GM＝2，
∴BF＝BG﹣FG＝4﹣2，
故选：D．
3、如图在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝5，BC＝4，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
【答案】A
【解析】
解：如图，连接FC，
由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝4，
∴FC＝AF＝4，FD＝AD﹣AF＝1．
在△FDC中，∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
即CD2+12＝42，
解得CD．
故选：A．
4、如图，将梯形ABCD沿直线AB的方向平移到梯形A'B'C'D'的位置，其中AD∥BC，∠ABC＝90°，D′C′交BC于点M．若BM＝5cm，CM＝1cm，BB'＝2cm，则图中阴影部分的面积为 　 　 cm2．
【答案】
11．
【解析】
解：∵D′C′交BC于点M．BM＝5cm，CM＝1cm，
∴BC＝6cm，
∵梯形ABCD沿直线AB的方向平移到梯形A′B′C′D′的位置，BB′＝2cm，
∴B′C′＝BC＝6cm，
∴S阴影＝S梯形BB′C′M
（6+5）×2
＝11（cm2），
故答案为：11．
5、已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝5，那么梯形ABCD的周长为　 　 ．
【答案】
7+3．
【解析】
解：过D作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠BHD＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH＝AD＝2，DH＝AB，
∵BC＝5，
∴CH＝3，
∵∠CHD＝90°，∠C＝30°，
∴DH＝CH tan30°＝3，
∴CD＝2DH＝2，
∴梯形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD5+22＝7+3，
故答案为：7+3．
6、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【答案】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）解：在Rt△BEC中，∠DBC＝50°，
则∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
由（1）可知，△ABD≌△ECB，
∴BD＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DCE＝65°﹣40°＝25°．

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