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2026年广东省广州市番禺区九年级数学二模试卷
一、单选题
1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下表记录了年月日我国四个城市的平均气温，其中，平均气温最低的城市是（ ）
城市 北京 广州 哈尔滨 拉萨
气温/
A．北京 B．广州 C．哈尔滨 D．拉萨
3．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的高，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．某校开展“文明之星”评选活动，已知每位学生最多可获得个文明徽章．现从参赛学生中随机抽取人，统计他们获得的徽章个数，将结果绘制成条形图（如图所示），则这位学生所获徽章个数的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间（单位：）与下落高度（单位：）近似满足公式，其中重力加速度取．若一物体从距地面的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，相距的两个城镇，之间有一个半径为的圆形湖泊，它的圆心落在连线的中点处．现要修建一条由线段，，线段三部分组成的公路，其中，分别与相切于点，，则这段公路的总长度为（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
二、填空题
11．写出一个使分式有意义的的值，可以是______．
12．若点在反比例函数的图象上，则_______（填“”，“”或“”）．
13．如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接，已知，则的长为______．
14．关于的方程的两个根分别为，，若，则___________．
15．如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________．
16．如图，在中，，，，点为平面内一动点，满足，分别连接，．延长至点，连接，使．当时，____________；当线段的长度取得最小值时，____________．
三、解答题
17．解方程：．
18．如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：．
19．先化简，再求值：，其中为方程的解．
20．已知曲线：过点．
(1)求的值；
(2)在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为．求点在曲线上的概率．
21．如图，在中，于点，为的中点．
(1)尺规作图：作点关于点的对称点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形是矩形．
22．依据现代睡眠医学理论，人的完整睡眠周期由清醒期、浅睡眠期、深睡眠期和快速眼动睡眠期（）四个阶段构成，各阶段的占比直接决定睡眠质量，且深刻影响青少年生长发育、学习效率等关键需求的达成．研究表明，各阶段的合理占比范围如下：浅睡眠期占比的取值范围为，深睡眠期占比的取值范围为，占比的取值范围为，清醒期占比越低越好．其中，浅睡眠是连接清醒与深睡眠的“桥梁”，无实质修复功能，占比过高将导致睡眠“不实”；深睡眠是身体修复的“黄金期”，能够分泌生长激素，增强免疫力，缓解躯体疲劳；是大脑修复的“关键期”，能够巩固陈述性记忆，调节情绪，促进大脑发育．由此说明，睡眠质量的核心，并非单纯取决于睡眠总时长，也取决于各阶段的合理占比．
(1)图1是某同学晚上用智能手表监测到的睡眠数据，
①请判断该同学本次睡眠的占比情况：________（选填“过低”，“合适”或“过高”）；
②根据以上信息，求该同学本次睡眠的深睡眠时间至少需要增加多少分钟，才能使其深睡眠的占比达到合理范围？
(2)该同学最近一周深睡眠与的占比情况如图2所示，
①计算深睡眠的周平均睡眠时间占比；
②根据图中数据，分析该同学这两项核心阶段的睡眠情况；
(3)结合自身情况提出一条提高青少年睡眠质量的建议．
23．如图，以的一边为直径作⊙，⊙与边的交点恰好为边的中点．
(1)求证：；
(2)过点作，交于点，
①求证：为⊙的切线；
②连接交于点，若，求的值．
24．如图，菱形中，，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．点是边上任意一点（点不与点，重合）．
(1)求证：；
(2)如图，连接交于点，连接，过点作，交于点．求的值；
(3)如图，点在边上，且满足，连接．过点作，交直线于点，连接．当点在边上运动时，求线段的取值范围．
25．已知是抛物线上两个不同的点．
(1)当，且抛物线关于轴对称时，
①若，两点都在轴上，求线段的长；
②若直线经过平面直角坐标系的原点，求的值；
(2)当且时，若点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数，证明：．
《2026年广东省广州市番禺区九年级数学二模试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D B B C C B B
1．B
2．C
3．A
4．D
5．B
6．B
7．C
8．C
9．B
10．B
11．（答案不唯一）
12．
13．
14．10
15．6
16．
17．
18．
证明：，，
．
，，
．
∴．
．
．
19．，
20．(1)
(2)
21．(1)如图所示：
(2)证明：点与点关于点对称，
∴点，，三点共线，
点为的中点，
∴
∴四边形是平行四边形
，
∴
∴是矩形．
22．(1)①过低；②至少增加25分钟．
(2)①深睡眠的周平均睡眠时间占比为；
②深睡眠的周平均睡眠时间占比为，未达到最低标准，一周中仅星期一和星期五达标，表现为深睡眠不足，不利于有效缓解躯体疲劳；从折线图可以看出该同学占比比较稳定，方差较小，一周中有6天在合理范围内，说明该同学睡眠质量较好．
(3)养成良好的作息习惯，保证22：30前入睡，6：30起床；睡前应让大脑充分放松，可以适当听听有助于睡眠的轻音乐，避免睡前大量刷题、玩游戏等活动；白天增加运动，加强体育锻炼．（答案不唯一，有理即可）
23．(1)证明：∵为的直径，
∴，即．
∵为中点，
∴垂直平分，
∴．
(2)①证明：如图，连接，
由（1）得，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵为半径，
∴为的切线．
②．
24．(1)证明：四边形是菱形，
，
，，
为中点，
，
，
(2)；
(3)．
25．(1)①；②的值为．
(2)证明：∵且，
∴．
∴对称轴为直线．
∵点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数，
∴，
∴ ．
．
其中，
，即 ．
∵，
∴ ，
．
，即．

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