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第二十六章 二次函数
26.1.2 二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？
新课导入
追问1：你是怎么想到的？
图象和性质
类比一次函数
通过具体实例认识这种函数
研究图象和性质
解决实际问题
探索与相应方程的联系
探究新知
知识点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质
用“描点法”法作图
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数.
列表表示几组对应值：
操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征.
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y).
3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到
y = x2 的图象．(能用直线连接吗？)
同学们展示下自己的结果，并交流下做法？
8
(1) 你能描述图象的形状吗？
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
8
思考：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？
(可以从以下几个方面考虑)
可以看出，二次函数 y = x2 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上.
实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下，我们把二次函数y=ax +bx+c的图象叫作抛物线у=ax +bx+c.
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
8
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴.
图象是轴对称图形
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？
当 x＞0 时呢？
观察图象可以发现：
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
(-2，4)
(-1，1)
(2，4)
(1，1)
3
2
y = x2
(4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？
你是如何知道的？
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为 (0，0).
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
3
2
顶点
y = x2
例1 在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
解：列表如下：
x ··· 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
描点、连线，如图所示：
x
y
y = 2x2
思考：(1) 函数 y = 2x2 的图象与函数 y = x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
想一想
共同点：是开口向上，对称轴是 y 轴，
顶点是原点，也是抛物线的最低点；
不同点：是开口大小不同.
(2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
y = 2x2
y = x2
y＝ax2 a > 0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向上
a 越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大.
归纳总结
练一练
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ；
点 A(2，y1) 在抛物线上，则 y1 = ________.
点 A(2，16) 关于对称轴的对称点的坐标是_________.
向上
y 轴
(0，0)
低
减小
增大
( 2，16)
16
y＝ax2 a ＜ 0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
小组讨论，如何归纳总结出下表？
知识点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质
合作探究
(1) 在同一直角坐标系中，画出函数
观察图象，思考这些抛物线有什么相同点和不同点？
想一想
共同点是开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点；
不同点是开口大小不同.
当 a＜0 时，a 越小，抛物线的开口越小.
(2) 当 a＜0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
x
y
y = -2x2
O
y = -x2
问题：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？
y
2
4
-2
-4
O
-2
-4
-6
x
(2， 4)
( 2， 4)
(3， 9)
( 3， 9)
y = -x2
-8
观察图象可以发现：
当 x＜0 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 x＞0 时，
y 随 x 的增大而减小.
顶点是抛物线的最高点，为 (0，0).
顶点
归纳总结
y＝ax2 a ＜ 0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向下
当 x = 0 时，y最大值 = 0
a 越小，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x > 0 时，y 随 x 增大而增小；当 x < 0 时，y 随 x 增大而减大.
当堂小结
二次函数
y = ax2 的图象及性质
画法
描点法
在对称轴两侧对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4 个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
当堂练习
1. 如右图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 .
x
y
k > 1
2. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
开口方向
对称轴
顶点
向上
向下
向下
向上
y 轴
y 轴
y 轴
y 轴
(0，0)
(0，0)
(0，0)
(0，0)
O
二次函数
3. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0) 过点 ( 1，2)，则
(1) a 的值是 ；
(2) 对称轴是 ，开口 ；
(3) 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点，
抛物线在 x 轴的 方（除顶点外）；
(4) 若 A(x1 , y1)，B(x2 , y2) 在这条抛物线上，且 x1< x2<0，
则 y1 y2.
2
y 轴
向上
(0，0)
低
上
＞

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