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第8课时　力的合成和分解
[学习目标]　1．会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。2．能利用效果分解法和正交分解法计算分力。3．能应用力的合成与分解的知识，分析实际问题。
1．力的合成
(1)合力与分力
①定义：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果________，这一个力就叫作那几个力的________，那几个力叫作这一个力的________。
②关系：合力与分力是________关系。
(2)共点力
①特点：几个力都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。
②示例
(3)力的合成
①定义：求几个力的________的过程。
②运算法则
a．平行四边形定则
求两个互成角度的分力的合力，如果以表示这两个力的________为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表________的大小和方向。如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力。
b．三角形定则
把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的________为合矢量。如图乙所示， F1、F2为分力，F为合力。
2．力的分解
(1)定义：求一个力的________的过程。力的分解是力的合成的________。
(2)遵循的原则
①____________定则；②三角形定则。
(3)分解方法
①效果分解法：如图所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面________，二是使物体________斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝______，G2＝________。
②正交分解法：将已知力按互相________的两个方向进行分解的方法。
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有________，相加时遵从____________定则的物理量，如速度、力等。
(2)标量：只有大小没有________，相加时遵从________法则的物理量，如路程、速率等。
1．易错易混辨析
人教版必修第一册P72情境：如图甲所示，两个小孩分别用力F1、F2共同提着一桶水，水桶静止；如图乙所示，一个大人单独向上用力F提着同一桶水，让水桶保持静止。据此进行判断：
(1)F1和F2是共点力。 (　　)
(2)F1和F2的共同作用效果与F的作用效果相同。 (　　)
(3)水桶的重力就是F1、F2两个力的合力。 (　　)
(4)图中两个力的合力一定比其分力大。 (　　)
(5)在进行力的合成与分解时，要应用平行四边形定则或三角形定则。 (　　)
2．(人教版必修第一册习题改编)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(θ≠180°)，其合力为F。下列说法正确的是(　　)
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．若F1和F2大小不变，θ越小，则合力F越大
C．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F一定增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同
3．(人教版必修第一册习题改编)作用在同一个物体上的两个共点力，一个力的大小是2 N，另一个力的大小是10 N，它们合力的大小不可能是(　　)
A．6 N B．8 N
C．10 N D．12 N
4．(人教版必修第一册习题改编)一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力，一个分力在水平方向上并且大小为240 N，则另一个分力的大小为(　　)
A．60 N B．240 N
C．300 N D．420 N
力的合成
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法的应用：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角，确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法应用的几种特例
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合力
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
(2)三个共点力的合力
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则这三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。
　合力的范围
[典例1]　如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ(0≤θ≤2π)角之间的关系图像，下列说法正确的是(　　)
A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N
B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N
[典例2]　三个共点力大小分别是F1、F2、F3 ，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是(　　)
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个力大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8 ，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2 ，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
　合力的计算
[典例3]　(一题多法)杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥。挺拔高耸的208 m 主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧有32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么该对钢索对塔柱形成的合力有多大(结果保留2位有效数字)？方向如何？
思路点拨：解此题可按以下思路：
(1)把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。
(2)由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
力的分解
1．常用方法对比
正交分解法 效果分解法
分解 方法 将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解 根据一个力产生的实际效果进行分解
实例 分析 x轴方向上的分力 Fx＝F cos θ y轴方向上的分力 Fy＝F sin θ F1＝ F2＝G tan θ
2．方法的选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
　力的效果分解法
[典例4]　(2025·四川省自贡市第一中学高三诊断)我们在进行古建筑复原时，需要用各种各样的凿子制作卯眼，如图甲所示为木工常用的一种凿子，其截面如图乙所示，侧面与竖直面间的夹角为θ。当在顶部施加竖直向下的力F时，其侧面和竖直面对两侧木头的压力分别为F1和F2，不计凿子的重力和摩擦阻力，下列说法正确的是(　　)
A．力F一定小于F1
B．力F一定大于F2
C．F1和F2之间的大小关系满足F1sin θ＝F2
D．夹角θ越大，凿子越容易进入木头
规律方法：力的效果分解法的步骤
　力的正交分解法
[典例5]　如图所示，一质量为0.8 kg的木块放在水平面上，向左运动，受到一个与水平面成30°的拉力F＝8 N作用，木块与地面的动摩擦因数是0.5，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．物体受到的弹力大小是8 N
B．摩擦力大小为4 N，方向向右
C．合力大小是8 N
D．摩擦力大小是2 N，方向向右
[典例6]　如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为37°
B．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为53°
C．耳朵受到的口罩带的作用力为2kx
D．耳朵受到的口罩带的作用力为kx
力的分解的唯一性和多解性
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的方向(两分力不平行) 有唯一解
已知合力与两个分力的大小(两分力不平行) 在同一平面内有两解或无解(当或F>F1＋F2时无解)
已知合力与一个分力的大小和方向 有唯一解
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向 在0<θ<90°时有三种情况：(1)当F1＝F sin θ或F1≥F时，有一组解；(2)当F1F时有一组解，其余情况无解
[典例7]　(多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A． B．F
C． D．F
第8课时　力的合成和分解
回归教材·双基过关
知识梳理·体系构建
1．(1)相同　合力　分力　等效替代　(3)合力　有向线段　合力　有向线段
2．(1)分力　逆运算　(2)平行四边形　(3)下滑　压紧　Gsin θ　Gcos θ　垂直
3．(1)方向　平行四边形　(2)方向　算术
技能激活·易错攻坚
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2．BD　[由力的合成可知，两力合力的范围为|F1－F2|F合F1＋F2，所以合力可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两分力相等，故A错误；若F1与F2大小不变，θ越小，则合力F越大，故B正确；如果θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F可能减小，也可能增大，故C错误；合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同，故D正确。]
3．A　[两力合成时，合力范围为|F1－F2|FF1＋F2，故8 NF12 N，故8 N、10 N、12 N是可能的合力大小，6 N 没在范围之内，是不可能的合力大小，故选A。]
4．C　[将竖直向下的180 N的力分解，其中一个方向水平，大小为240 N，由力的三角形定则作图如图所示，其中F180 N，F1240 N，则另一个分力的大小为F2 N300 N，故C正确。
]
考点深研·题型突破
考点1
典例1　C　[由题图可知，当两力夹角为180°时，两力的合力大小为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力大小为10 N，则这两个力的大小分别为6 N、8 N，故C正确，D错误；当两个力方向相同时，合力大小最大，等于两个力之和；当两个力方向相反时，合力大小最小，等于两个力之差，由此可知，合力大小的变化范围是2 NF14 N，故A、B错误。]
典例2　C　[三个力的合力不一定为零，当第三个力不在剩余两个力的合力范围内，合力不为零，当三个力的方向相同时，合力最大，合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力，故A、B错误；设F13F，则F26F，F38F，F1、F2的合力范围为3FF'9F，F3在这个范围内，所以只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零，故C正确；设F13F，则F26F，F32F，F1、F2的合力范围为3FF″9F，F3不在这个范围内，三个力的合力一定不为零，故D错误。]
典例3　解析：解法一(作图法)
如图1所示，自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°，取单位长度为1×104 N，
则OA和OB的长度都是3个单位长度，量得对角线OC长约为5.2个单位长度
所以合力的大小为F5.2×1×104 N5.2×104 N，方向竖直向下。
解法二(计算法)
如图2所示，根据这个平行四边形是一个菱形的特点，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即ADDB，ODOC
对于直角三角形AOD，∠AOD30°
则有F2F1cos 30°2×3×104× N≈5.2×104 N，方向竖直向下。
答案：5.2×104 N　方向竖直向下
考点2
典例4　A　[按效果将力F分解为F'1、F'2，如图所示，由几何关系结合F1F'1、F2F'2可知F1cos θF2，FF1sin θ，解得F1，F2，可知F一定小于F1，由于不知道θ的具体大小，故F和F2的大小关系不能确定，且在顶部施加同样的力F时，夹角θ越大，力F1和F2越小，凿子越不容易进入木头，故A正确，B、C、D错误。
]
典例5　D　[对木块进行受力分析，根据力的合成与分解，竖直方向有N＋Fsin 30°mg，整理代入数据得Nmg－Fsin 30°8 N－4 N4 N，A错误；因为fμN，解得fμN0.5×4 N2 N，方向水平向右，B错误，D正确；水平方向F合f＋Fcos 30°，代入数据解得F合2 N＋8× N(2＋4) N，C错误。
]
典例6　D　[弹性轻绳被拉长了x，同一根轻绳拉力大小相等，即FABFDEkx，将FAB、FDE分别正交分解，如图，则FxFABcos 37°＋FDEcos 53°kx，FyFABsin 37°＋FDEsin 53°kx，则耳朵受到的口罩带的作用力Fkx，设作用力方向与水平方向夹角为θ，tan θ1，即作用力方向与水平方向夹角为45°，故D正确。
]
考点3
典例7　AC　[如图所示，因F2F＞Fsin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由ΔFF，则F1的大小分别为Fcos 30°－ΔF和Fcos 30°＋ΔF，即F1的大小分别为F和F，A、C正确。
]
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第二章 相互作用
第8课时　力的合成和分解
[学习目标]　1．会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。2．能利用效果分解法和正交分解法计算分力。3．能应用力的合成与分解的知识，分析实际问题。
回归教材 · 双基过关
1．力的合成
(1)合力与分力
①定义：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果________，这一个力就叫作那几个力的________，那几个力叫作这一个力的________。
②关系：合力与分力是________关系。
相同
合力
分力
等效替代
(2)共点力
①特点：几个力都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。
②示例
(3)力的合成
①定义：求几个力的________的过程。
②运算法则
a．平行四边形定则
求两个互成角度的分力的合力，如果以表示这两个力的________为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表________的大小和方向。如图甲所示，F1、 F2为分力，F为合力。
合力
有向线段
合力
b．三角形定则
把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的________为合矢量。如图乙所示， F1、F2为分力，F为合力。
有向线段
2．力的分解
(1)定义：求一个力的________的过程。力的分解是力的合成的________。
(2)遵循的原则
①____________定则；②三角形定则。
分力
逆运算
平行四边形
(3)分解方法
①效果分解法：如图所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面________，二是使物体________斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝______，G2＝________。
②正交分解法：将已知力按互相________的两个方向进行分解的方法。
下滑
压紧
G sin θ
G cos θ
垂直
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有________，相加时遵从____________定则的物理量，如速度、力等。
(2)标量：只有大小没有________，相加时遵从________法则的物理量，如路程、速率等。
方向
平行四边形
方向
算术
1．易错易混辨析
人教版必修第一册P72情境：如图甲所示，两个小孩分别用力F1、F2共同提着一桶水，水桶静止；如图乙所示，一个大人单独向上用力F提着同一桶水，让水桶保持静止。据此进行判断：
(1)F1和F2是共点力。 (　　)
(2)F1和F2的共同作用效果与F的作用效果相同。 (　　)
(3)水桶的重力就是F1、F2两个力的合力。 (　　)
(4)图中两个力的合力一定比其分力大。 (　　)
(5)在进行力的合成与分解时，要应用平行四边形定则或三角形定则。 (　　)
√
×
√
×
√
2．(人教版必修第一册习题改编)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(θ≠180°)，其合力为F。下列说法正确的是(　　)
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．若F1和F2大小不变，θ越小，则合力F越大
C．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F一定增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同
√
√
BD　[由力的合成可知，两力合力的范围为≤F合≤F1＋F2，所以合力可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两分力相等，故A错误；若F1与F2大小不变，θ越小，则合力F越大，故B正确；如果θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F可能减小，也可能增大，故C错误；合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同，故D正确。]
3．(人教版必修第一册习题改编)作用在同一个物体上的两个共点力，一个力的大小是2 N，另一个力的大小是10 N，它们合力的大小不可能是(　　)
A．6 N B．8 N
C．10 N D．12 N
√
A　[两力合成时，合力范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故8 N≤F≤12 N，故8 N、10 N、12 N是可能的合力大小，6 N 没在范围之内，是不可能的合力大小，故选A。]
4．(人教版必修第一册习题改编)一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力，一个分力在水平方向上并且大小为240 N，则另一个分力的大小为(　　)
A．60 N B．240 N
C．300 N D．420 N
√
C　[将竖直向下的180 N的力分解，其中一个方向水平，大小为240 N，由力的三角形定则作图如图所示，其中F＝180 N，F1＝240 N，则另一个分力的大小为F2＝ N＝300 N，故C正确。]
考点深研 · 题型突破
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法的应用：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角，确定合力的方向(如图所示)。
力的合成
(2)计算法应用的几种特例
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合力
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
(2)三个共点力的合力
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则这三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。
角度1　合力的范围
[典例1]　如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ(0≤θ≤2π)角之间的关系图像，下列说法正确的是(　　)
√
A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N
B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N
C　[由题图可知，当两力夹角为180°时，两力的合力大小为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力大小为10 N，则这两个力的大小分别为6 N、8 N，故C正确，D错误；当两个力方向相同时，合力大小最大，等于两个力之和；当两个力方向相反对，合力大小最小，等于两个力之差，由此可知，合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N，故A、B错误。]
[典例2]　三个共点力大小分别是F1、F2、F3 ，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是(　　)
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个力大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8 ，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2 ，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
√
C　[三个力的合力不一定为零，当第三个力不在剩余两个力的合力范围内，合力不为零，当三个力的方向相同时，合力最大，合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力，故A、B错误；设F1＝3F，则F2＝6F，F3＝8F，F1、F2的合力范围为3F≤F′≤9F，F3在这个范围内，所以只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零，故C正确；设F1＝3F，则F2＝6F，F3＝2F，F1、F2的合力范围为3F≤F″≤9F，F3不在这个范围内，三个力的合力一定不为零，故D错误。]
角度2　合力的计算
[典例3]　(一题多法)杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥。挺拔高耸的208 m 主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧有32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么该对钢索对塔柱形成的合力有多大(结果保留2位有效数字)？方向如何？
思路点拨：解此题可按以下思路：
(1)把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。
(2)由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
[解析]　解法一(作图法)
如图1所示，自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°，取单位长度为1×104 N，
则OA和OB的长度都是3个单位长度，量得对角线OC长约为5.2个单位长度
所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N，方向竖直向下。
解法二(计算法)
如图2所示，根据这个平行四边形是一个菱形的特点，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AD＝DB，OD＝OC
对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°
则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N，方向竖直向下。
[答案]　5.2×104 N　方向竖直向下
[教师备选资源]
如图甲、乙、丙、丁所示的四种情况是某一质点在同一平面内同时受到的三个共点力，若坐标纸中每格边长表示1 N的大小的力，则下列关于质点所受的合力的说法中正确的是(　　)
A．图甲中质点所受的合力大小是12 N，方向水平向右
B．图乙中质点所受的合力等于0
C．图丙中质点所受的合力大小是7 N，方向竖直向上
D．图丁中质点所受的合力大小等于5 N
√
A　[题图甲中F1、F2的合力为8 N，水平向右，与F3方向一致，则3个力的合力为12 N，方向水平向右，故A正确；对题图乙，F3与F2的合力与F1大小相等，方向相同，所以3个力的合力为6 N，方向水平向右，故B错误；题图丙中，将F3与F2正交分解，则水平方向大小相等，方向相反；竖直方向合力为5 N，则3个力的合力大小为
8 N，方向竖直向上，故C错误；题图丁中，将F3与F2正交分解，水平方向合力大小为1 N，竖直方向合力为4 N，所以3个力的合力在水平方向的大小为1 N，在竖直方向的大小为3 N，由勾股定理求得合力大小等于 N，故D错误。]
1．常用方法对比
力的分解
正交分解法 效果分解法
分解 方法 将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解 根据一个力产生的实际效果进行分解
正交分解法 效果分解法
实例 分析 x轴方向上的分力 Fx＝F cos θ y轴方向上的分力 Fy＝F sin θ
F1＝
F2＝G tan θ
2．方法的选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
角度1　力的效果分解法
[典例4]　(2025·四川省自贡市第一中学高三诊断)我们在进行古建筑复原时，需要用各种各样的凿子制作卯眼，如图甲所示为木工常用的一种凿子，其截面如图乙所示，侧面与竖直面间的夹角为θ。当在顶部施加竖直向下的力F时，其侧面和竖直面对两侧木头的压力分别为F1和F2，不计凿子的重力和摩擦阻力，下列说法正确的是(　　)
√
A．力F一定小于F1
B．力F一定大于F2
C．F1和F2之间的大小关系满足F1sin θ＝F2
D．夹角θ越大，凿子越容易进入木头
A　[按效果将力F分解为F′1、F′2，如图所示，由几何关系结合F1＝F′1、F2＝F′2可知F1cos θ＝F2，F＝F1sin θ，解得F1＝，F2＝，可知F一定小于F1，由于不知道θ的具体大小，故F和F2的大小关系不能确定，且在顶部施加同样的力F时，夹角θ越大，力F1和F2越小，凿子越不容易进入木头，故A正确，B、C、D错误。]
规律方法：力的效果分解法的步骤
角度2　力的正交分解法
[典例5]　如图所示，一质量为0.8 kg的木块放在水平面上，向左运动，受到一个与水平面成30°的拉力F＝8 N作用，木块与地面的动摩擦因数是0.5，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
√
A．物体受到的弹力大小是8 N
B．摩擦力大小为4 N，方向向右
C．合力大小是8 N
D．摩擦力大小是2 N，方向向右
D　[对木块进行受力分析，根据力的合成与分解，竖直方向有N＋F sin 30°＝mg，整理代入数据得N＝mg－F sin 30°＝8 N－4 N＝4 N，A错误；因为f＝μN，解得f＝μN＝0.5×4 N＝2 N，方向水平向右，B错误，D正确；水平方向
F合＝f＋F cos 30°，代入数据解得F合＝2 N＋8× N＝(2＋4) N，C错误。]
[典例6]　如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为37°
B．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为53°
C．耳朵受到的口罩带的作用力为2kx
D．耳朵受到的口罩带的作用力为kx
√
D　[弹性轻绳被拉长了x，同一根轻绳拉力大小相等，即FAB＝FDE＝kx，将FAB、FDE分别正交分解，如图，则Fx＝FABcos 37°＋FDEcos 53°＝kx，Fy＝FABsin 37°＋FDEsin 53°＝kx，则耳朵受到的口罩带的作用力F＝＝kx，设作用力方向与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝1，即作用力方向与水平方向夹角为45°，故D正确。]
力的分解的唯一性和多解性
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的方向(两分力不平行)
有唯一解
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的大小(两分力不平行)
在同一平面内有两解或无解(当或F>F1＋F2时无解)
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与一个分力的大小和方向
有唯一解
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向 在0<θ<90°时有三种情况：(1)当F1＝F sin θ或F1≥F时，有一组解；(2)当F1F时有一组解，其余情况无解
[典例7]　(多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A． B．F
C． D．F
√
√
AC　[如图所示，因F2＝F＞F sin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由ΔF＝＝F，则F1的大小分别为F
cos 30°－ΔF和F cos 30°＋ΔF，即F1的大小分别为F和F，A、C正确。]
说明：第1～7题，每小题4分；第8～10题，每小题5分；本试卷共55分。
课时数智作业(八)　力的合成和分解
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．2025年9月20日中欧北极航线开通，在此航线，破冰船是必不可少的工具。如图所示，破冰船可以滑上冰层借助自身重力破冰。在破冰船的船头相对冰层向上滑动的瞬间，船头受到冰层的支持力和摩擦力作用，题图所示的a、b、c、d四个方向中，这两个力的合力方向可能是(　　)
A．a B．b
C．c D．d
C　[由题意可知，船头受到冰层的支持力垂直于冰面向上，摩擦力方向沿着冰面向下，根据平行四边形定则可知，这两个力的合力方向可能是c。故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2．(多选)如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，且α为锐角，则(　　)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
A．当F1>F sin α时，一定有两解
B．当F1＝F sin α时，有唯一解
C．当F1D．当F sin α√
√
BCD　[将一个力分解为两个分力，由三角形定则知分力与合力可构成封闭三角形，当F1＜F sin α时，三个力不能构成封闭三角形，故不可能分解为这样的一对分力F1和F2，选项C正确；当F1＝F sin α时，可构成唯一一个直角三角形，选项B正确；当F sin α＜F1＜F时，F1、F2与F可构成两个矢量三角形，即有两解，选项D正确；对于选项A，由于不能确定F1是否小于F，结合前面的分析知，选项A错误。]
题号
1
3
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11
3．有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们间的夹角为90°时合力为F，则当它们间的夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A．2F B．F
C．F D．F
√
题号
1
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11
B　[当F1、F2间的夹角为90°时，由平行四边形定则和勾股定理可知，F＝，可得F1＝F2＝F，当它们之间的夹角为120°时，由平行四边形定则可知，合力的大小为F′＝2F1cos 60°＝F，故选B。]
题号
1
3
5
2
4
6
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11
4．如图所示是由F1、F2、…、F6六个力分别首尾相连构成的几何图形，已知F4＝10 N，方向水平向右，则这六个力的合力的大小和方向为(　　)
√
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
11
A．10 N，水平向左 B．30 N，水平向右
C．10 N，水平向右 D．20 N，水平向右
B　[由矢量的合成可知F1、F2、F3三个力的合力等于F4，F5、F6两个力的合力等于F4，则这六个力的合力的大小为F合＝3F4＝30 N，方向水平向右，故B正确，A、C、D错误。]
题号
1
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5．(经典高考题)如图所示，人游泳时若某时刻手掌对水的作用力大小为F，该力与水平方向的夹角为30°，则该力在水平方向的分力大小为(　　)
√
题号
1
3
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11
A．2F B．F
C．F D．F
D　[沿水平方向和竖直方向将手掌对水的作用力分解，则该力在水平方向的分力大小为F cos 30°＝F，故选D。]
题号
1
3
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11
6．(经典高考题)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
√
题号
1
3
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4
6
8
7
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11
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
B　[根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2F cos ，故选B。]
题号
1
3
5
2
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6
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11
7．(2025·广西梧州模拟)港珠澳大桥是目前全球最长的跨海大桥，风帆造型的九洲航道桥部分如图所示，这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索，每对钢索等长。每一条钢索与塔柱成α角，底部穿过桥面固定在桥面下，若不计钢索的自重，且假设每条钢索承受的拉力大小均为F，下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
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2
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6
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√
题号
1
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A．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为16F cos α
B．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为
C．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力变大
D．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力不变
A　[每一条钢索与塔柱成α角，则塔柱两侧每一对钢索对塔柱拉力的合力都沿竖直方向向下，所以8对钢索对塔柱的合力大小等于16条钢索沿竖直向下的分力的和，故F合＝16F cos α，故A正确，B错误；合力一定，分力间的夹角越小，则分力越小，若仅升高塔柱的高度，钢索与塔柱夹角变小，钢索承受的拉力变小，故C、D错误。]
题号
1
3
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2
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6
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11
8．(2024·湖北卷)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
√
题号
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A．f B．f
C．2f D．3f
B　[ ]
题号
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9．如图所示，质量均为m的小球A和B分别用轻质细线a、b悬于O点，A、B用轻质细线c连接。给B施加水平向右的拉力F，静止时，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线b与竖直方向的夹角为60°，细线c刚好水平，重力加速度为g，则拉力F的大小为(　　)
√
题号
1
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A．mg B．mg
C．mg D．mg
C　[根据题意，分别对A、B受力分析，如图所示，对小球A，竖直方向有Fa cos 30°＝mg，水平方向有Fa sin 30°＝FcA，对小球B，竖直方向有Fb cos 60°＝mg，水平方向有FcB＋Fb sin 60°＝F，又有FcA＝FcB，联立解得F＝mg，故C正确。]
题号
1
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10．(2025·河南安阳高三质检)耙在中国已有1500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为O1，夹角∠AO1B＝60°，拉力大小均为F，平面AO1B与水平面的夹角为30°(O2为AB的中点)，如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是(　　)
题号
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√
题号
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2
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11
A．两根耙索的合力大小为F
B．两根耙索的合力大小为F
C．地对耙的水平阻力大小为F
D．地对耙的水平阻力大小为
B　[两根耙索的合力大小为F′＝2F cos 30°＝F，故A错误，B正确；由平衡条件知，地对耙的水平阻力大小为f＝F′cos 30°＝F，故C、D错误。故选B。]
题号
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11．(12分)重力为G1＝8 N的物块悬挂在绳PA和PB的结点上，PA偏离竖直方向37°角，PB沿水平方向，且连在重力为G2＝100 N的木块上，木块静止于倾角为37° 的斜面上，如图所示。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
题号
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(1)木块与斜面间的摩擦力大小；
(2)木块所受斜面的弹力大小。
[解析]　(1)(2)对结点P受力分析如图甲所示，由平衡条件可得FA cos 37°＝G1
FA sin 37°＝FB
解得FB＝6 N
对木块受力分析，如图乙所示
由平衡条件可得
Ff＝G2sin 37°＋F′B cos 37°
FN＋F′B sin 37°＝G2cos 37°
又F′B＝FB
解得Ff＝64.8 N，FN＝76.4 N。
题号
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[答案]　(1)64.8 N　(2)76.4 N
谢 谢 ！课时数智作业(八)　力的合成和分解
说明：第1～7题，每小题4分；第8～10题，每小题5分；本试卷共55分。
1．2025年9月20日中欧北极航线开通，在此航线，破冰船是必不可少的工具。如图所示，破冰船可以滑上冰层借助自身重力破冰。在破冰船的船头相对冰层向上滑动的瞬间，船头受到冰层的支持力和摩擦力作用，题图所示的a、b、c、d四个方向中，这两个力的合力方向可能是(　　)
A．a B．b
C．c D．d
2．(多选)如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，且α为锐角，则(　　)
A．当F1>F sin α时，一定有两解
B．当F1＝F sin α时，有唯一解
C．当F1D．当F sin α3．有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们间的夹角为90°时合力为F，则当它们间的夹角为120°时，合力的大小为(　　)
A．2F B．F
C．F D．F
4．如图所示是由F1、F2、…、F6六个力分别首尾相连构成的几何图形，已知F4＝10 N，方向水平向右，则这六个力的合力的大小和方向为(　　)
A．10 N，水平向左 B．30 N，水平向右
C．10 N，水平向右 D．20 N，水平向右
5．(经典高考题)如图所示，人游泳时若某时刻手掌对水的作用力大小为F，该力与水平方向的夹角为30°，则该力在水平方向的分力大小为(　　)
A．2F B．F
C．F D．F
6．(经典高考题)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
7．(2025·广西梧州模拟)港珠澳大桥是目前全球最长的跨海大桥，风帆造型的九洲航道桥部分如图所示，这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索，每对钢索等长。每一条钢索与塔柱成α角，底部穿过桥面固定在桥面下，若不计钢索的自重，且假设每条钢索承受的拉力大小均为F，下列说法正确的是(　　)
A．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为16F cos α
B．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为
C．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力变大
D．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力不变
8．(2024·湖北卷)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
A．f B．f
C．2f D．3f
9．如图所示，质量均为m的小球A和B分别用轻质细线a、b悬于O点，A、B用轻质细线c连接。给B施加水平向右的拉力F，静止时，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线b与竖直方向的夹角为60°，细线c刚好水平，重力加速度为g，则拉力F的大小为(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
10．(2025·河南安阳高三质检)耙在中国已有1500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为O1，夹角∠AO1B＝60°，拉力大小均为F，平面AO1B与水平面的夹角为30°(O2为AB的中点)，如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是(　　)
A．两根耙索的合力大小为F
B．两根耙索的合力大小为F
C．地对耙的水平阻力大小为F
D．地对耙的水平阻力大小为
11．(12分)重力为G1＝8 N的物块悬挂在绳PA和PB的结点上，PA偏离竖直方向37°角，PB沿水平方向，且连在重力为G2＝100 N的木块上，木块静止于倾角为37° 的斜面上，如图所示。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)木块与斜面间的摩擦力大小；
(2)木块所受斜面的弹力大小。
课时数智作业(八)
1．C　[由题意可知，船头受到冰层的支持力垂直于冰面向上，摩擦力方向沿着冰面向下，根据平行四边形定则可知，这两个力的合力方向可能是c。故选C。
]
2．BCD　[将一个力分解为两个分力，由三角形定则知分力与合力可构成封闭三角形，当F1＜F sin α时，三个力不能构成封闭三角形，故不可能分解为这样的一对分力F1和F2，选项C正确；当F1＝F sin α时，可构成唯一一个直角三角形，选项B正确；当F sin α＜F1＜F时，F1、F2与F可构成两个矢量三角形，即有两解，选项D正确；对于选项A，由于不能确定F1是否小于F，结合前面的分析知，选项A错误。]
3．B　[当F1、F2间的夹角为90°时，由平行四边形定则和勾股定理可知，F＝，可得F1＝F2＝F，当它们之间的夹角为120°时，由平行四边形定则可知，合力的大小为F′＝2F1cos 60°＝F，故选B。]
4．B　[由矢量的合成可知F1、F2、F3三个力的合力等于F4，F5、F6两个力的合力等于F4，则这六个力的合力的大小为F合＝3F4＝30 N，方向水平向右，故B正确，A、C、D错误。]
5．D　[沿水平方向和竖直方向将手掌对水的作用力分解，则该力在水平方向的分力大小为F cos 30°＝F，故选D。]
6．B　[根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2F cos ，故选B。]
7．A　[每一条钢索与塔柱成α角，则塔柱两侧每一对钢索对塔柱拉力的合力都沿竖直方向向下，所以8对钢索对塔柱的合力大小等于16条钢索沿竖直向下的分力的和，故F合＝16F cos α，故A正确，B错误；合力一定，分力间的夹角越小，则分力越小，若仅升高塔柱的高度，钢索与塔柱夹角变小，钢索承受的拉力变小，故C、D错误。]
8．B　[
]
9．C　[根据题意，分别对A、B受力分析，如图所示，对小球A，竖直方向有Fa cos 30°＝mg，水平方向有Fa sin 30°＝FcA，对小球B，竖直方向有Fb cos 60°＝mg，水平方向有FcB＋Fb sin 60°＝F，又有FcA＝FcB，联立解得F＝mg，故C正确。
]
10．B　[两根耙索的合力大小为F′＝2F cos 30°＝F，故A错误，B正确；由平衡条件知，地对耙的水平阻力大小为f＝F′cos 30°＝F，故C、D错误。故选B。]
11．解析：(1)(2)对结点P受力分析如图甲所示，由平衡条件可得FA cos 37°＝G1
FA sin 37°＝FB
解得FB＝6 N
对木块受力分析，如图乙所示
由平衡条件可得
Ff＝G2sin 37°＋F′B cos 37°
FN＋F′B sin 37°＝G2cos 37°
又F′B＝FB
解得Ff＝64.8 N，FN＝76.4 N。
答案：(1)64.8 N　(2)76.4 N
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