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2.2 用配方法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 配方法(2)
九年级上册数学（北师版）
(1) 9x2 = 1 ；
(2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
1.用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 + 6x + 9 = 5；
(2) x2 + 3x - 4 = 0.
把两题转化成
(x + m)2 = n(n≥0)的
形式，再利用开平方
复习导入
问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0； ② 3x2 + 8x - 3 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8，
配方，得 (x + 3)2 = 1.
开平方，得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 ， x2 = -4.
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1
探究新知
试一试：解方程： 3x2 + 8x - 3 = 0.
解：两边同除以 3，得
配方，得
开方，得 即
所以 x1 = ，x2 = -3 .
配方，得
由此可得
二次项系数化为 1，得
解：移项，得
2x2 - 3x = -1.
即
例1 解下列方程：
配方，得
∵ 实数的平方不会是负数，
∴ x 取任何实数时，上式都不成立．
∴ 原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为 1，得
即
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x + m)2 = n.
①当 n＞0 时，则 ，方程的两个根为
②当 n = 0 时，则(x + m)2 = 0，x + m = 0，开平方得方程的两个根为 x1 = x2 = -m.
③当 n＜0 时，则方程 (x + m)2 = n 无实数根.
归纳总结
引例：一个小球从地面上以 15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：
h = 15t - 5t2.
小球何时能达到 10 m 高？
解：将 h = 10 代入方程中 15t - 5t2 = 10.
两边同时除以 -5，得 t2 - 3t = -2.
配方，得 t2 - 3t + = - 2.
配方法的应用
2
即
移项，得 =
即 t - = 或 t - = .
所以 t1 = 2 ， t2 = 1 .
即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高.
1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，则 m 的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 -2
C
练一练
配方法
定义
步骤
一 移常数项且二次项系数化为 1；
二 配方[配上 ]；
三 写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四 开平方解方程
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上
当堂小结
1.解下列方程：
（1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12；
（3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x + 2 = 0，
(x + 1)2 = -1.
∴此方程无解.
解：x2 - 4x - 12 = 0，
(x - 2)2 = 16.
∴ x1 = 6，x2 = -2.
解：x2 + 2x - 3 = 0，
(x + 1)2 = 4.
∴x1 = -3，x2 = 1.
课堂练习
2.利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 x2 x 1 的值总是负数，并求出它的最大值.
解： x2 x 1 = ( x2 + x + )+ 1
∴ x2 x 1 的值总是负数.
当 时， x2 x 1有最大值
3.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为 x m，根据题意得
(35 - x)(26 - x) = 850.
整理，得 x2 - 61x + 60 = 0.
解得
x1 = 60 (不合题意，舍去)，x2 = 1.
答：道路的宽为 1 m.
4. 已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足等式
，试判断△ABC 的形状.
解：对原式配方，得
由非负式的性质可知
∴ △ABC 为等边三角形.

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