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第二章 一元二次方程
九年级上册数学（北师版）
2.2 一元二次方程的解法
第4课时 因式分解法
复习导入
因式分解的方法有哪些？
(1) 提公因式法
am + bm + cm = m(a + b + c)
(2) 公式法
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
因式分解法解一元二次方程
1
探究新知
一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s) 满足关系：h = 15t - 5t 。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？
设小球经过 t s 落回地面，此时 h = 0，
于是可得方程 15t - 5t = 0。
小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。
小颖的方法：
由方程 15t - 5t = 0，
得 5t - 15t = 0，
所以 t1 = 0，t2 = 3。
由方程 15t - 5t = 0，
得 5t = 15t，
所以 t = 3。
两边都约去 5t，得
小明的方法：
他们做得对吗？为什么？
√
×
t = 0
由方程 15t - 5t = 0，
得 5t - 15t = 0，
所以 t1 = 0，t2 = 3。
即 5t(t - 3) = 0，
于是 t = 0，或 t - 3 = 0。
小亮的方法：
他做得对吗 为什么
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
√
当一元二次方程的一边为 0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
要点归纳
例1 解下列方程：
(1) 5x2 = 4x； (2) x(x - 2) = x - 2.
解：(1) 原方程可变形为
x = 0 或 5x - 4 = 0.
∴ x1 = 0，x2 = .
x(5x - 4) = 0.
典例精析
5x2 - 4x = 0，
(2) 原方程可变形为
x - 2 = 0 或 x - 1 = 0.
∴ x1 = 2，x2 = 1.
(x - 2)(x - 1) = 0.
x(x - 2) - (x - 2) = 0.
解下列方程： x2 - 4 = 0，(x + 1)2 - 25 = 0，
解： x2 - 4 = 0 可变形为
x + 2 = 0 或 x - 2 = 0.
∴ x1 = -2，x2 = 2 .
(x + 2)(x - 2) = 0.
∴ x1 = -6，x2 = 4.
(x + 6)(x - 4) = 0.
解：分解因式，得
[(x + 1) + 5][(x + 1) - 5] = 0.
x + 6 = 0 或 x - 4 = 0.
想一想
x2 + 2x - 3 = 0， x2 - 6x + 8 = 0。
∴ x1 = -3，x2 = 1.
解：分解因式，得
(x + 3)(x - 1) = 0.
x + 3 = 0 或 x - 1 = 0.
∴ x1 = 2，x2 = 4.
解：分解因式，得
(x - 2)(x - 4) = 0.
x - 2 = 0 或 x - 4 = 0.
你还有哪些方法解上述方程？
因式分解
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
当堂小结
1. 填空：
① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0；
④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8；
⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).
最适合运用直接开平方法： ；
最适合运用因式分解法： ；
最适合运用公式法： ；
最适合运用配方法： .
⑥
①
③
⑤
⑦
⑧
⑨
②
④
课堂练习
2. 解方程：x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？请指出并改正过来.
解：原方程化为 (x - 5)(x + 2) = 18. ①
由 x - 5 = 3，得 x = 8； ②
由 x + 2 = 6，得 x = 4. ③
∴ 原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. ④
3. 解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，解得 x1 = ，x2 = .
x2 + x - 2 = 0
-2
1
解：原方程化为
x2 - 3x - 28 = 0，
(x - 7)(x + 4) = 0，
x1 = 7，x2 = -4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
解：因式分解，得
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0，
4.解方程：
解得
5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为 r，
根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
解得 .

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