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微点突破二　“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”问题
[学习目标]　1．知道“活结”和“死结”、“动杆”和“定杆”的区别。2．能够掌握各自的受力特点并解决相关问题。
1．“活结”与“死结”
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”模型 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
“死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
[典例1]　如图所示，三根细轻绳系于O点，其中OA绳另一端固定于A点，OB绳的另一端与放在粗糙水平地面上质量为60 kg的物体乙相连，乙与水平地面的动摩擦因数为0.2，OC绳的另一端悬挂物体甲，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，OB绳水平。欲使乙物体静止，则甲物体的质量最大为(已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
A．24 kg B．20 kg
C．16 kg D．12 kg
[典例2]　在如图所示装置中，两物体质量分别为m1和m2，滑轮直径大小可忽略。设动滑轮P两侧的绳与竖直方向的夹角分别为α和β。整个装置能保持静止。不计动滑轮P的质量和一切摩擦。则下列说法正确的有(　　)
A．α一定等于β
B．m1一定大于m2
C．m1一定小于m2
D．m1可能大于2m2
2．“动杆”与“定杆”
模型结构 模型解读 模型特点
“动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆
“定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
[典例3]　(多选)(2025·山东济南外国语学校期末)图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。已知重力加速度大小为g，甲、乙中杆都垂直于墙，两图中重物都静止，则下列说法正确的是(　　)
A．与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg
B．轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg
C．两根杆中弹力方向均沿杆方向
D．若甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，则重物的质量增加时，甲中轻绳更容易断裂
1．如图所示，站在水平地面上的人通过轻绳绕过定滑轮A和轻质动滑轮B将一重物吊起。若系统在图示位置静止时B两侧轻绳的夹角为120°，A右侧轻绳沿竖直方向，不计一切摩擦，此时人对地面恰好无压力，则人与重物的质量之比为(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
2．水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重为100 N的重物，∠CBA＝30°。如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为(　　)
A．100 N B．50 N
C．50 N D．20 N
3．如图(a)、(b)、(c)所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，AB为缆绳，杆和缆绳重力不计，当它们吊起相同重物时，杆OA受力分别为Fa、Fb、Fc，下列关系正确的是(　　)
A．Fa>Fb>Fc B．Fa>Fc＝Fb
C．Fa＝Fb>Fc D．Fa＝Fb＝Fc
4．(2024·浙江1月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°(不计摩擦)，重力加速度g取10 m/s2，则细线a、b的拉力分别为(　　)
A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N
C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N
5．弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　)
A．tan B．
C． D．
6．(2025·山东济南一模)如图所示，光滑定滑轮固定在天花板上，轻绳绕过定滑轮，一端竖直悬挂质量为2m的小球P，另一端连接质量为m的圆环Q，圆环Q套在粗糙水平杆上。一水平向左的力F作用在圆环上，使轻绳和杆之间夹角为30°，整个系统保持静止状态。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．杆对圆环Q摩擦力的方向一定向右
B．杆对圆环Q摩擦力的方向可能向左
C．定滑轮对轻绳作用力的方向竖直向上
D．定滑轮对轻绳作用力的大小为2 mg
微点突破二　“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”问题
微点探究
典例1　C　[根据题意可知，甲对绳子的拉力大小等于甲的重力，对结点O受力分析如图所示，则当乙与地面的静摩擦力达到最大时，有TBμm乙gm甲gtan 37°，解得m甲16 kg，故A、B、D错误，C正确。
]
典例2　A　[绳子连续通过定滑轮和动滑轮，绳子上的拉力相同，整个装置能保持静止，则绳子上的拉力大小与m2的重力大小相同，即Tm2g，对滑轮P进行受力分析可得Tsin αTsin β，Tcos α＋Tcos βm1g，解得αβ，m12m2cos α，故m1一定小于2m2，当αβ60°时，有Tm1gm2g，故选A。]
典例3　AD　[题图甲中B点受力如图1，杆对B点的作用力方向沿杆，由平行四边形定则可知，FN1mg，FT12mg，则与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg，故A正确；题图乙中D点受力如图2，D点滑轮受到杆的作用力方向不沿杆，绳中两个拉力大小相同，可知轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为FN2FT1'FT2'mg，故B、C错误；若甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，但甲、乙中绳子拉力大小关系为FT1＞FT1'，则重物的质量增加时，甲中轻绳更容易断裂，故D正确。
]
微点训练
1．A　[人对地面恰好无压力，则绳子的张力大小为Fm人g，对重物分析有2Fcos 60°m物g，解得人与重物的质量之比为m人∶m物1∶1，故选A。]
2．A　[受力分析图如图，由于两个力的夹角为120°，用平行四边形定则求合力，得合力大小与重力等大，为100 N。
]
3．C　[分别对三种形式的结点进行受力分析，各图中FTmg。在图(a)中，Fa2FTcos 30°mg，在图(b)中，FbFTtan 60°mg，在图(c)中，FcFTcos 30°mg，故选C。
]
4．D　[由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为Ta(mA＋mB)g1 N，设细线b与水平方向夹角为α，分别对A、B分析有 Tbsin α＋Tcsin θmAg，Tbcos αTdcos θ，解得Tb0.5 N，故选D。]
5．A　[受力如图所示，设大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大小均为F1，已知它们之间的夹角为θ，F即为它们的合力的大小，作出平行四边形如图所示，有F1cos ，则脚掌对地面竖直向下的压力为FNF1sin ，由牛顿第三定律可知脚掌所受地面竖直向上的弹力为F'N·tan 。故选A。
]
6．D　[小球P静止，由平衡条件知，绳子拉力大小为T2mg，由于Tsin θmg，则圆环Q不受杆的支持力作用，可见杆对圆环Q没有摩擦力，由力的合成知，轻绳对动滑轮的作用力大小F12Tcos mg，方向与竖直方向成30°角斜向左下方，由牛顿第三定律知，定滑轮对轻绳作用力的方向与竖直方向成30°角斜向右上方，大小为F'1F12mg，故选D。]
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第二章 相互作用
微点突破二　“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”问题
[学习目标]　1．知道“活结”和“死结”、“动杆”和“定杆”的区别。2．能够掌握各自的受力特点并解决相关问题。
1．“活结”与“死结”
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”模型 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
模型结构 模型解读 模型特点
“死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
[典例1]　如图所示，三根细轻绳系于O点，其中OA绳另一端固定于A点，OB绳的另一端与放在粗糙水平地面上质量为60 kg的物体乙相连，乙与水平地面的动摩擦因数为0.2，OC绳的另一端悬挂物体甲，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，OB绳水平。欲使乙物体静止，则甲物体的质量最大为(已知重力加速度
g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
A．24 kg B．20 kg
C．16 kg D．12 kg
√
C　[根据题意可知，甲对绳子的拉力大小等于甲的重力，对结点O受力分析如图所示，则当乙与地面的静摩擦力达到最大时，有TB＝μm乙g＝m甲g tan 37°，解得m甲＝16 kg，故A、B、D错误，C正确。]
[典例2]　在如图所示装置中，两物体质量分别为m1和m2，滑轮直径大小可忽略。设动滑轮P两侧的绳与竖直方向的夹角分别为α和β。整个装置能保持静止。不计动滑轮P的质量和一切摩擦。则下列说法正确的有(　　)
A．α一定等于β
B．m1一定大于m2
C．m1一定小于m2
D．m1可能大于2m2
√
A　[绳子连续通过定滑轮和动滑轮，绳子上的拉力相同，整个装置能保持静止，则绳子上的拉力大小与m2的重力大小相同，即T＝m2g，对滑轮P进行受力分析可得T sin α＝T sin β，T cos α＋T cos β＝m1g，解得α＝β，m1＝2m2cos α，故m1一定小于2m2，当α＝β＝60°时，有T＝m1g＝m2g，故选A。]
2．“动杆”与“定杆”
模型结构 模型解读 模型特点
“动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆
模型结构 模型解读 模型特点
“定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
[典例3]　(多选)(2025·山东济南外国语学校期末)图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。已知重力加速度大小为g，甲、乙中杆都垂直于墙，两图中重物都静止，则下列说法正确的是(　　)
A．与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg
B．轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg
C．两根杆中弹力方向均沿杆方向
D．若甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，则重物的质量增加时，甲中轻绳更容易断裂
√
√
AD　[题图甲中B点受力如图1，杆对B点的作用力方向沿杆，由平行四边形定则可知，FN1＝＝mg，FT1＝＝2mg，则与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg，故A正确；题图乙中D点受力如图2，D点滑轮受到杆的作用力方向不沿杆，绳中两个拉力大小相同，可知轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为FN2＝FT1′＝FT2′＝mg，故B、C错误；若甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，但甲、乙中绳子拉力大小关系为FT1＞FT1′，则重物的质量增加时，甲中轻绳更容易断裂，故D正确。]
1．如图所示，站在水平地面上的人通过轻绳绕过定滑轮A和轻质动滑轮B将一重物吊起。若系统在图示位置静止时B两侧轻绳的夹角为120°，A右侧轻绳沿竖直方向，不计一切摩擦，此时人对地面恰好无压力，则人与重物的质量之比为(　　)
√
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
A　[人对地面恰好无压力，则绳子的张力大小为F＝m人g，对重物分析有2F cos 60°＝m物g，解得人与重物的质量之比为m人∶m物＝1∶1，故选A。]
2．水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重为100 N的重物，∠CBA＝30°。如图所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为(　　)
A．100 N B．50 N
C．50 N D．20 N
√
A　[受力分析图如图，由于两个力的夹角为120°，用平行四边形定则求合力，得合力大小与重力等大，为100 N。]
3．如图(a)、(b)、(c)所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，AB为缆绳，杆和缆绳重力不计，当它们吊起相同重物时，杆OA受力分别为Fa、Fb、Fc，下列关系正确的是(　　)
√
A．Fa>Fb>Fc B．Fa>Fc＝Fb
C．Fa＝Fb>Fc D．Fa＝Fb＝Fc
C　[分别对三种形式的结点进行受力分析，各图中FT＝mg。在图(a)中，Fa＝2FT cos 30°＝mg，在图(b)中，Fb＝FTtan 60°＝mg，在图(c)中，Fc＝FT cos 30°＝mg，故选C。]
4．(2024·浙江1月选考)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°(不计摩擦)，重力加速度g取10 m/s2，则细线a、b的拉力分别为
(　　)
√
A．2 N，1 N B．2 N，0.5 N
C．1 N，1 N D．1 N，0.5 N
D　[由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为Ta＝(mA＋mB)g＝
1 N，设细线b与水平方向夹角为α，分别对A、B分析有 Tb sin α＋Tc sin θ＝mAg，Tb cos α＝Td cos θ，解得Tb＝0.5 N，故选D。]
5．弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　)
√
A．tan B．
C． D．
A　[受力如图所示，设大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大小均为F1，已知它们之间的夹角为θ，F即为它们的合力的大小，作出平行四边形如图所示，有F1cos ＝，则脚掌对地面竖直向下的压力为FN＝F1sin ，由牛顿第三定律可知脚掌所受地面竖直向上的弹力为F′N＝·tan 。故选A。]
6．(2025·山东济南一模)如图所示，光滑定滑轮固定在天花板上，轻绳绕过定滑轮，一端竖直悬挂质量为2m的小球P，另一端连接质量为m的圆环Q，圆环Q套在粗糙水平杆上。一水平向左的力F作用在圆环上，使轻绳和杆之间夹角为30°，整个系统保持静止状态。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
√
A．杆对圆环Q摩擦力的方向一定向右
B．杆对圆环Q摩擦力的方向可能向左
C．定滑轮对轻绳作用力的方向竖直向上
D．定滑轮对轻绳作用力的大小为2 mg
D　[小球P静止，由平衡条件知，绳子拉力大小为T＝2mg，由于
T sin θ＝mg，则圆环Q不受杆的支持力作用，可见杆对圆环Q没有摩擦力，由力的合成知，轻绳对动滑轮的作用力大小F1＝2T cos ＝2mg，方向与竖直方向成30°角斜向左下方，由牛顿第三定律知，定滑轮对轻绳作用力的方向与竖直方向成30°角斜向右上方，大小为F′1＝F1＝2mg，故选D。]
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