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数学参考答案
一．选择题（共 10题，每题 3分，共 30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B D B C D C B
10．解：由题意得，
f （1） a 13 b 1 1 a b 1 8，
a b 7，
f ( 1) a( 1)3 b( 1) 1 a b 1 (a b) 1 7 1 6，
故答案为： 6．选 B．
二．填空题（共 6题，每题 3分，共 18分）
11． x 3且 x 0． 12．5 5． 13． ．
2
14．40． 15．0.960． 16．5 x 13．
3 2 ≤ 37
16. 解：依题意得 3(3 2) 2 37，＞
解得 5＜x≤13，
∴x的取值范围为 5＜x≤13．
故答案为：5＜x≤13．
三．解答题（本大题共 9个小题，第 17、18、19题每题 6分，第 20、21题每题 8分，第 22、23题每题 9
分，第 24、25题每题 10分，共 72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17 1．解：原式 4 2 2 1 2 1 ……………………………………………………..………..…（4 分）
2
4 2 1 1 2 1
3 2 ．……………………………………………………..………..…（6 分）
18 ( x y y ) x (x y ) x y y x(x y )．解：原式
x y x y (x y )(x y ) x y (x y)(x y)
x (x y)(x y) x y
，……………………………………………………..………..…（4 分）
x y x(x y) x y
当 x 3， y 1时，
3 1
原式 2．……………………………………………………..………..…（6 分）
3 1
19．解：（1） 在O处，看到灯塔 A在游艇北偏东 60 方向上，
AOC 60 ；
在 B处，看到灯塔 A在游艇北偏西 30 方向上，
ABD 30
故答案为：60；30；……………………………………………………..………..…（2 分）
（2）过点 A作 AE OB于点 E，如图，
ABO 60 ，
BAE 30 ，
BE 1 AB 3，
2
在 Rt△ ABE中，
AE AB2 BE2 3 3，
灯塔 A到航线OB的距离 3 3千米．……………………………………………………..………..…（6 分）
20．解：（1）所抽取的学生人数为：12 40% 30（人 )，
所抽取的学生成绩为C 等级的人数为 30 1 12 10 7（人 )，
故答案为：7人；……………………………………………………..………..…（2 分）
（2）将 30名学生的成绩按从小到大的顺序排列，第 15个、16个数据的平均数就是所抽取的学生成绩的
中位数，
84 86
85（分 )，
2
故答案为：85分；……………………………………………………..………..…（4 分）
10
（3）由题意可知， 480 160（人 )，
30
答：估计成绩为 A等级的人数为 160人；……………………………………………………..………..…（6 分）
（4）画树状图如下：
共有 6种等可能的结果，其中甲，乙两名同学同时被选中的结果有 2种，
2 1
甲，乙两名同学同时被选中的概率为 ．……………………………………………………..………..…（8 分）
6 3
21．（1）证明：由作图知CE AB， BD平分 CBF ，
1 2 3，
CEB 1 CEB 3 2 CDE 90 ，
CEB CDE，
CD CE；……………………………………………………..………..…（4 分）
（2）解： DF AB，
DFB DCB 90 ，
BD BD，
△ BDC △ BDF (AAS )，
CD DF ， BC BF 5，
ACB 90 ， AC 12， BC 5，
AB AC2 BC2 122 52 13，
AF 13 5 18，
设 EC CD DF x，则 AD x 12，
在 Rt△ ADF 中，根据勾股定理得： AD2 AF 2 DF 2，
则 (12 x)2 x2 182，
15
x ，
2
15
CE ．……………………………………………………..………..…（8 分）
2
22．解：（1）设计划购进甲型号台灯 x台，则购进乙型号台灯 (100 x)台，
由题意得： 45x 60(100 x) 5400，
解得： x 40，
100 x 100 40 60（台 )，……………………………………………………..………..…（4 分）
答：可计划购进甲型台灯 40台，购进乙型台灯 60台；
（2）设乙型号台灯需打 a折，
80 a 60 60 20%，
10
解得： a 9，
答：乙种型号台灯需打 9折．……………………………………………………..………..…（9 分）
23.（1）证明：连接OB，
BAE 1 BOE，且 BAE 45 ，
2
BOE 2 BAE 90 ，
边 BC与 O 相切于点 B，
BC OB，
DE OB， BC OB，
DE / /BC ．……………………………………………………..………..…（4 分）
（2）解： DF / /BC，
△ AFD∽△ ABC，
DF AF 3
，
CB AB 8
DF 5，OD 10，
8 8 40
CB DF 5 ，OB OD 10，
3 3 3
BOD 90 ，
S S S 1 40 90 10
2 350
阴影 梯形BODC 扇形BOD 10 10 25 ，2 3 360 3
350
阴影部分的面积是 25 ．……………………………………………………..………..…（9 分）
3
24. 解：（1）已知 1 2 2 + ( 1 2)2 + | 1 + 2 2| = 0且 a1+a2≠0，
∴a1＝2a2，b1＝b2，c1＝﹣2c2，
∴ = 1 = = 12 2 ， 2 1， 2 2，
∵二次函数 = 6 21 + + 与 2 = 3 2 + 5 2，其中 y2是 y1的“协同函数”，
∴m＝5，n＝﹣2×（﹣2）＝4；
……………………………………………………..………..…（2 分）
（2）二次函数 y2的图象总经过某定点；理由如下：
已知二次函数 = 2 21 + + ( ＜0)，对于任意的实数 p，当 x＝1+p时和 x＝1﹣p时的函数值相等，
且满足不等式 ac﹣5a﹣c+5≥0，
∴对称轴为直线 x＝1，
∴ 4 = 1，
∴b＝﹣4a，
∵二次函数 y2是 y1的“协同函数”，
∴ 2 1 12 = + 2 ，即 2 =
2 4 2 ，
∵a＜0，
∴开口向下，可得对称轴为直线 x＝2，
∵ac﹣5a﹣c+5≥0，
∴（c﹣5）（a﹣1）≥0，
∵a＜0，
∴a﹣1＜﹣1，
∴c﹣5≤0，
∴c≤5，
∵当﹣1≤x＜c时，y2的最小值为﹣2c﹣4a，
∴当 x＝﹣1时，y2取最小值，
故 4 × ( 1) 12 = 2 4 ，
化简得：c＝﹣6a，
∴y2的解析式为 22 = 4 + 3 = ( 1)( 3)，
∴当 y＝0时，得：（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x＝1或 x＝3，
∴二次函数 y2的图象总经过某定点；经过定点（1，0）和（3，0）；
……………………………………………………..………..…（6 分）
（3）∵a1＝2a2，b1＝b2，c1＝﹣2c2，
∴二次函数 1 = 2 2 + 2 的“协同函数”为 2 = 2 + + ，
设 A（x1，0），B（x2，0），
当 y2＝0时，ax2+bx+c＝0
则 1 + 2 =

， 1 2 = ，
∵△ABC为直角三角形，且 AB⊥CO，且抛物线开口向上，
∴c＜0，点 A在 x轴负半轴，点 B在 x轴正半轴，
如图：
此时只能∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，

∴ = ，

∴OC2＝AO×OB，
∴ 2 = 1 2 = ，
∴ac＝﹣1，
∵a﹣b﹣2＝0，
∴b＝a﹣2，
∴ = ( )2 = ( )2 2 4 2 1 = 4 [( 1 +
2
2) 4 1 2]
=
2
2 4
4 [( ) 4 ] = 4 2
2= +4 = ( 2)
2+4 2 1 2
4 2 4 2 = 2 ( 2 ) + 8，
∵开口向上的二次函数 1 = 2 2 + 2 的对称轴在 y轴左侧，
2 = 0
∴ ，2×2 ＜0
0 2∴ ＜ ＜1，

∴ ≤ ＜ ．……………………………………………………..………..…（10 分）
8 4
25．（1）解：①＝，90；……………………………………………………..………..…（2 分）
（2）证明：连接 EF，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠A＝∠BCE＝45°，
∵∠DBE＝90°，DB＝BE，BF⊥DE，
∴BF是 DE的中垂线，
∴DF＝EF，
∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，
∴∠FCE＝90°，
∴CF2+CE2＝EF2，
∴AD2+CF2＝DF2；
（3）解：①记△BOE，△COD的面积为 S3，S4，
∵ = 1 + 2，S＝S1+S2+S3+S4，
∴ = 1 + 2 + 2 1 2， ( 1 + 2) = 2 1 2，
∴ 3 + 4 = 2 1 2 ，
∵ 1 2= 3 4
∴ 3 + 4 = 2 3 4 ，
∴( )23 4 = 0，
∴S3＝S4，
∵∠BEO＝∠DCO＝45°，∠BOE＝∠DOC，
∴△BOE∽△DOC，
∴△BOE≌△DOC，
∴OB＝OD，
∴点 D为 AC中点，

∴ = 2；

②如图，过点 F作 FM⊥DG 于点 M，连接 EF，
由（2）知 CF⊥EC，
∵GF平分∠CGD，FM⊥DG，CF⊥EC，
∴FM＝FC，
又 BF是 DE的中垂线，
∴FD＝FE，
∴△FMD≌△FCE（HL），
∴DM＝CE，
∵∠FMG＝∠FCG＝90°，FG＝FG，
∴△GMF≌△GCF（HL），
∴GM＝GC，
+ + + + + 2
∴ = = = ，

又田（2）知 AD＝CE，
+
∴ =2．
2025-2026:长郡九下适应性试卷
数学
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1.-2026的倒数是()
1
A.-2026
B.2026
C.-
D、1
2026
2026
2.2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标
志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形
又是中心对称图形的是(
A.注意安全
B.急救中心
C.水深危险
D.禁止攀爬
3.灵巧手是人形机器人的重要部件.有关部门预测，2035年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的
市场规模约967亿元.其中数据“967亿”用科学记数法表示为()
A.9.67×1010
B.9.67×10
C.0.976×1010
D.0.976×10
4.乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从30.5cm高度自由下落，反弹高度在(25±1)cm范
围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是()
A.23cm
B.25.5cm
C.26.5cm
D.30.5cm
5.下列运算正确的是()
A.a2.a3=a6
B.(a+b)}2=a2+b2
C.V40=4V10
D.(m-n)(-n-m）=n2-m2
6现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门.小明家的密码锁密码
由六个数字组成，每个数字都是从0~9中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一
次随机试验就能打开门的概率为()
A、1
B.
10
c
D.
·9
7某社区便利店销售家用洗衣液，店主想了解哪种容量规格的洗衣液最畅销，以便合理进货.下列关于洗衣
液容量规格的统计量中，最有参考意义的是()
A.中位数
B.平均数
C众数
D方差
B
8.如图，直线1∥12，直线AD与1,12分别相交于点B,C,若∠1=56°，
∠2=30°，则∠3的度数为()
A.56
B.36°
D
C.30°
D.26°
9.已知一次函数y=:+b(k≠0)，下表是y与x的几组对应值，则该一次函数的图象经过()
0
2
3
5
3
-1
A第一、二、三象限
B第二、三、四象限
C第一、二、四象限
D第一、三、四象限
10.数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号f(x)表示，并把当x=m时的多项式f(x)的值用f(m)表示.
对于多项式f(x)=ax3+bx+1.若f(1)=8,则f(-1)的值等于()
A.6
B.-6
C.7
D.-9
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
1,若使代数式B-工有意义，则x的取值范围是
X
12.在△ABC中，a=1,b=5,若第三边c的长度是整数，则c=
13.如图，边长为5的菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E是AB的中点，则EO的长为
D
E
第13题图
第14题图
14.如图，△ABC内接于⊙0，点D在⊙O上，且点A为劣弧BD的中点，连接AD、BD.若∠ACB=40°，
则∠ABD的度数为
15.“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
94
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率m
0.940
0.970
0.963
0.958
0.961
0.960
0.960
n
请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为
16程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，
规定从“输入一个值x”到“结果是否>37”为一次程序操作，已知某同学输入x后经过了两次操作停止，
则x的取值范围为
输入
是
X3
-2
输出

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