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2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷01
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（本题5分）已知，设与方向相同的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（ ）
A． B． C． D．
4．（本题5分）已知等差数列中，其前项和为，则（ ）
A．185 B．190 C．195 D．200
5．（本题5分）已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A． B．6 C． D．3
6．（本题5分）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题5分）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ）
A． B．1 C．3 D．7
8．（本题5分）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）下列说法正确的是（ ）
A．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现 2 点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与互斥
B．已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则
C．数据组成一个样本，其回归直线方程为 ，其中 ，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点
D．若，则事件相互独立与互斥不可能同时成立
10．（本题6分）若，则下列选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．（本题6分）已知正三棱柱的棱长均为2，为棱上靠近点的四等分点，为棱的中点，则（ ）
A．直线直线
B．点到平面的距离为
C．平面平面
D．以为球心，2为半径的球面与该棱柱的棱公共点的个数为8
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知向量， ，，若，则的最小值为_____.
13．（本题5分）已知，则________．
14．（本题5分）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数为__________.
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知向量.设.
(1)求函数的最小正周期；
(2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长.
16．（本题15分）已知函数
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求该切线方程.
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围.
17．（本题15分）在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）．
(1)求证：；
(2)求和平面所成角的余弦值．
18．（本题17分）已知椭圆的离心率为，且C过点．
(1)求C的方程．
(2)设C的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．
（ⅰ）若l不与x轴重合且斜率存在，线段AB的中点为M，证明：直线OM与AB的斜率之积为定值．
（ⅱ）是否存在这样的l，使得以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
19．（本题17分）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同.甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中.直至盒中红球已被全部取出，游戏结束.第一次摸球从甲开始，记为第n次摸球后游戏结束的概率.
(1)求，；
(2)求；
(3)若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量，证明：.
《2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C B B C D BCD AD
题号 11
答案 ACD
12．
【详解】因为，故，即，
故，
当且仅当，取等号，故的最小值为.
13．/
【详解】因为，所以，解得，
所以．
14．208
【详解】第一步，先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁，由对称性可知，只需先考虑乙丁，则有种；第二步，考虑中午和晚上，除掉乙丙，每个时段共有种组合，
故中午晚上共有种，需扣掉以下几种情况：
第一，中午晚上没有甲，则只有乙丙丁，每个时段有种排法，共有16种；
第二，中午晚上没有丙，则每个时段有种排法，共有36种；
第三，中午晚上没有甲丙，则只有乙丁，共有种排法；所以中午和晚上共有种排法，所以安排方法总数为种.
15．【详解】（1）由题意，
，所以函数的最小正周期；
（2）由得，因为，所以，解得，
因为，所以，由余弦定理得，所以.
16．【详解】（1）对函数求导得，所以.
因为曲线在处的切线与直线平行，所以，解得.所以，而.
所以该切线方程为，即.
（2）对函数求导得，因为在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，求导得.
当时，则；当时，则；
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
所以要使得在区间上恒成立，则.
所以的取值范围是.
17．(1)因为点在平面上的射影恰落在上，所以平面，
因为平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面BCD，则；
（2）因为平面，
所以平面，所以即为和平面所成角的平面角，
在中，，在中，，
在中，，所以，
即和平面所成角的余弦值为．
18．【详解】（1）设的半焦距为．由的离心率，得，
又，得，因此的方程为，
由点在上，可得，解得．因此，，故的方程为．
(2)（ⅰ）由（1）得的右焦点为，由题知的斜率存在且不为0，设的方程为，，．
联立方程得消去，可得，
则，．
设的中点为，则，
因为，
所以．
因为，，
所以，
即直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）不存在.

因为以，为邻边的平行四边形为矩形的一个必要条件是，
所以，即．又，，
所以，
，所以，
令，得，该方程无实数解，不满足题意．当的斜率不存在时，的方程为，此时或与重合，构不成四边形，也不满足题意．综上，不存在满足条件的．
19．【详解】（1），
.
（2）若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球，摸到0，1，2个红球的概率分别为，若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球，
摸到0，1个红球的概率分别为，则摸球次，记在第次摸出第一个红球、在第次摸出第二个红球从而结束游戏的概率为，则，摸球次，记第次摸到两个红球的概率为，则，则
.
（3）法一：设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为
，
记，则，
可能取值为1，2，且，
，故.
法二：设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为
，
摸球次，第次摸到两个红球的概率为，
①若，
此时当为奇数且时，；当时，，
则，
故，
记，
则，
可能取值为1，2，且，
，故.
②当时，，结论也成立；
综上，.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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