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2026年中考考前最后一卷
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时是墨迹盖住的整数共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．有一几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
4．郑州航空港区是我国首个国家级航空港经济综合实验区．2023年郑州航空港区全面贯彻落实国家、省、市政府决策部署，完成地区生产总值1295亿元，同比增长，持续领跑全省！其中1295亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列等式，其中正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. 图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（ ）
A. B.
C. D.
7. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知反比例函数，若当时，y的最大值与最小值的差为4，则k的值为（ ）
A.8
B.8或
C.2
D.2或
9. 如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，以点A为圆心，AC的长为半径作，再以点D为圆心，CD的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画。下列结论错误的是（ ）
A. 小球落地点距点水平距离为7米
B. 小球距点水平距离超过4米呈下降趋势
C. 当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为
D. 小球距斜坡的最大铅直高度为
第II卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 当 时，分式有意义。
12. 如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段。若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 。
13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。
14. 如图，已知，，……在直线上，在轴上取点，使，
作等腰 B A 面积为，等腰 B A 面积为，等腰 B A 面积为……，则 (用含的代数式表示).
15. 如图，平行四边形中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，直线交于点，若，，当点与点重合时，的长为 ，当有最小值时，的长为 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17. （8分）如图，中，，于，且、分别是、的中点．延长至点，使．
（1） 求的度数；
（2） 求证：；
（3） 若，求的面积．
18．（8分）物理学研究表明，某种金属导体的电阻（单位：）是其温度（单位：）的一次函数．当温度为时，该金属导体的电阻是；当温度为时，该金属导体的电阻是．
（1）求该金属导体的电阻与其温度之间的函数关系式；
（2）当该金属导体的电阻为时，其温度是多少？
19．（10分）【项目背景】
苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块苹果园．在苹果收获的季节，某班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对这两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从这两块苹果园采摘的苹果中，各随机选取相同个数的苹果．在技术人员的指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用（单位：）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
整理样本数据，并绘制甲、乙两块苹果园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
甲苹果园样本直径频数直方图 乙苹果园样本直径频数直方图
根据上面图表，请解答下列问题．
（1）求乙苹果园图中的值．
（2）求甲苹果园样本直径的平均数．（每组数取组中值，例如取4，取5）
（3）求甲苹果园样本直径的方差.（每组数取组中值来计算）
（4）已知乙苹果园样本直径的平均数为，乙苹果园样本直径的方差为.请你结合（2）（3）中所求的数据，评价哪个苹果园的苹果质量更好.
20. （10分）如图，在中，以为直径的经过的中点，过点作于点，延长交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
21. （9分）
注意用车安全
素材一 图1是某越野车的侧面示意图，图2是打开后备箱时的示意图，已知，，连结，，该车的高度，其中为轮胎与地面的切点（地面）.当后备箱打开到最大时，与水平面的夹角.
素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员.使其不能再继续倒车.防止发生意外.对于保障停车场安全管理起到了重要的作用.当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器
的位置关系如图1所示．挡车器上的点在轮胎所对圆上，图2是某款挡车器， ，，．高．
素材三 如图是某露天停车场搭建的一个停车棚侧而示意图．其中顶棚与地面平行，支 撑杆与地面垂直，．，．现计划，在停车棚内 每一个停车位中安装一个挡车器（与【素材二】中的挡车器同款）．
提示：①轮胎所在圆与地面始终相切；②参考数据：．．．
任务一 求【素材一】中的长．
任务二 与【素材一】中同型号的越野车停在挡车器位置时，其轮胎所在圆的圆心与挡车器点 的水平距离为．则该越野车的轮胎所在圆的半径是多少？
任务三 将与【素材一】中同型号的越野车停在【素材三】中的停车棚内，则挡车器应该放在 什么位置，即的长度至少为多少时．能保证越野车的后备箱盖可以完全打开？
22. （11分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线。
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式。
（2）当时，求函数值的取值范围。
（3）当时，函数值先随的增大而减小，后随的增大而增大，且的最大值为7，则的取值范围是 。
（4）已知、两点均在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为。将抛物线上、两点之间（含、两点）的图象记为，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值。
23.（11分）（1）如图①，在四边形中，，点在上，且。过点作，垂足为，交于点。
（I）求证：。
（II）求证：。
（2）如图②，已知线段和直线，是直线上一个动点，点在线段上，且。设线段的长为，点到的距离为。
（I）当点在直线上运动时，点的运动路线是____。
A. 直线 B. 弧 C. 线段
（II）若，，点到的距离为4.5，则的最大值为____。
2026年中考考前最后一卷
数学·参考答案
第I卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C B C A B B C
第II卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．2 12． 13． 14． 15．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）
解：（1）
（3分）
；（4分）
（2）
（6分）
，（7分）
当时，原式．（8分）
17．（8分）
（1）解：于，是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
；（2分）
（2）证明：，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，，
，
，
；（5分）
（3）解：过点作，如图：
，点是的中点，
，
，，，
，（7分）
在中，
，
．（8分）
18.（8分）
（1）解：设，
把，；，代入，得
，
解得 ，，
∴ 函数关系式为 ．（4分）
（2）解：将 代入 得 ，
解得 ，（7分）
∴当该金属导体的电阻为 时，其温度是 ．（8分）
19．（10分）
（1）解：由题意得，甲、乙样本总数 ，
∴ （个）；（2分）
（2）解： ，
∴甲园样本数据的平均数为 ．（4分）
（3）解：甲园样本数据的方差
．（7分）
（4）解：甲园的苹果品质更优，理由如下：
甲苹果园样本直径的平均数为 ，甲苹果园样本直径的方差为 ．
乙苹果园样本直径的平均数为 ，乙苹果园样本直径的方差为 ．（9分）
，，
由平均数和方差可得：甲苹果园的苹果质量更好．（10分）
20．（10分）
（1）解：连接 ，如图所示：
∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，，
∴ ，（2分）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，（3分）
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；（4分）
（2）解：设 为 ，
由（1）得 ，
∵ ，，
则 ，（5分）
在 中，则 ，
则 ，
解得 ，（7分）
∴
∵ ，
∴
∴ （9分）
∴
解得：．（10分）
21.（9分）
任务一：如图所示，过点 作 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 （1分）
，即
解得
；（3分）
任务二：如图所示，设轮胎的圆心为 ，过点 作 ，过点 作 ，过点 作 ，
四边形 是矩形，
挡车器高 ，轮胎所在圆的圆心与挡车器点 的水平距离为 ，
，，（4分）
设 的半径 ，则
在 中，
解得
该越野车的轮胎所在圆的半径是 ；（6分）
任务三：由素材一知，，，即 ，
当后备箱打开到最大时， 与水平面夹角 ，
在 中，如图1，，
，
，（7分）
如图2中，作，，
， ，，
保证越野车的后备箱可以完全打开，则，
，（8分）
，
，
，
又，
，
，即的长为时，后备箱能完全打
22.（11分）
（1）由题意，得，解得，
抛物线所对应的函数表达式为；（2分）
（2），对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是；（5分）
（3）把代入得，，
解得，，
∴当时，函数值先随的增大而减小，后随的增大而增大，且的最大值为7，则的取值范围是，（8分）
故答案为；
（4）点、的坐标分别为、，
当时，，
解得：（不合题意，舍去）（9分）
当时，，（10分）
解得：，（不合题意，舍去）
当时，，
解得：，（不合题意，舍去）
当时，，
解得：（不合题意，舍去）
综上，的值为或．（11分）
23．（11分）
【分析】（1）（I）利用两对角对应相等，可证明；
（II）由，推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
（2）（I）过点作于点，在上截取，使，再证明，推出，得到点的运动路线是以为直径的弧；
（II）将转化为，得到当最大时，的值最大，据此求解即可．
（1）证明：（I），，
；（1分）
（II），
，
，
∵ ，
∴ ，（3分）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（5分）
（2）（I）过点作于点，在上截取，使，
∵ ，
∴ ，即，
连接，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点的运动路线是以为直径的弧，
故选：B；（8分）
（II）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是定值，
∴当最大时，的值最大，
此时经过圆心，的长为和圆的半径长，连接，
作于点，
由（I）得，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最大值为，
的值最大为．（11分）

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