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2025-2026学年北京交通大学附属中学高二（下）月考数学试卷（5月份）
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知{an}为等差数列，a3=2，a4=6，则a5+a6=（　　）
A. 36 B. 24 C. 18 D. 12
2.已知函数，则f′（0）的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. -1 D. π
3.用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的四位偶数有（　　）个.
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
4.若，则a1+a2+a3+a4+a5=（　　）
A. 32 B. 33 C. 1 D. -31
5.函数f（x）=xex的极小值点是（　　）
A. 0 B. （0，0） C. -1 D.
6.函数f（x）=x2-xsinx的图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
7.“函数f（x）=（x2-m）ex在区间[-1，0]上单调递减”是“m≥-1”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若直线y=2x与曲线y=alnx+2相切，则a=（　　）
A. 1 B. 2 C. e D. e2
9.设函数f（x）=ln（1-x）+asinx.若f（x）≤f（0）在（-1，1）上恒成立，则（　　）
A. a=0 B. a≥1 C. 0＜a≤1 D. a=1
10.已知函数f（x）=，若 x1≤0， x2＞0，使f（x2）=f（x1）成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，0）∪[e，+∞） B. [e，+∞）
C. （0，e] D. [0，e]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在（1-2x）5的展开式中，所有的二项式系数之和为 .
12.函数的单调递减区间是 .
13.一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为 ；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为 .
14.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用，如图，设r是方程f（x）=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y=f（x）在（x0，f（x0））处的切线，切线方程为l1，当f（x0）≠0且f'（x0）≠0时，称l1与x轴的交点的横坐标x1是r的一次近似值；过点（x1，f（x1））作曲线y=f（x）在（x1，f（x1））处的切线，切线方程为l2，当f（x1）≠0且f'（x1）≠0时，称l2与x轴的交点的横坐标x2是r的两次近似值；重复以上过程，得到r的近似值序列{xn}，这就是所谓的“牛顿迭代法”.
（1）当时，r的n+1次近似值xn+1与n次近似值xn可建立等式关系：xn+1= ；
（2）若取x0=2作为r的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程x2-2=0正实根的两次近似值为 （用分数表示）.
15.已知数列{an}的各项均为非负数，前n项和为Sn，+an+1--1=0（n∈N*），给出下列四个结论：
①当a1=1时，{an}为常数列；
②对于 a1∈[0，1），存在常数M＞0，使得an＜M恒成立；
③当a1∈（1，+∞）时，{an}为递增数列；
④对于 n∈N*，Sn＞n-2.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题11分)
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且a2，a3+2，a4成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=an+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题11分)
已知函数f（x）=ex-ax.
（1）求f（x）与y轴的交点A的坐标；
（2）若f（x）的图像在点A处的切线斜率为-1，求f（x）的极值.
18.(本小题11分)
某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司n名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表.
综合得分 频数 频率
[0，30） a b
[30，60） 60 0.6
[60，100] 30 c
（1）求n,b的值；
（2）现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为[30，60）和[60，100]的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设X为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案：
方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分；
方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在[0，30）的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在[30，60）的员工人均综合得分提高20分.
用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明）
19.(本小题11分)
已知函数f（x）=ax-ex+1.
（1）当a=1时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的极值；
（3）已知a＞1，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）和一个极值点x0，记A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x0，f（x0）），试判断|AC|与|BC|的大小关系，并说明理由.
20.(本小题11分)
对于非空集合A、B，定义变换φ（A，B）={a+b| a∈A，b∈B}，A，B，φ（A，B）中元素的个数分别记为card（A），card（B），card（φ（A，B））.
（Ⅰ）设集合A={-1，1，3}，B={1，2，4}，直接写出card（φ（A，A）），card（φ（B，B）），card（φ（A，B））的值；
（Ⅱ）设果合An={2i|i=0，1，2，…，n-1}（n∈N*），φ（An，An）中所有元素的和记为an，求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设焦合A与B同时满足下列两个性质：
①A，B，φ（A，B） {x∈N|x≤2026}，且A∩B= ；
②card（A）=card（B）=m且card（φ（A，B））=2m-1，其中m∈N*，求m的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】32
12.【答案】（-∞，3）和（3，4）
13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】①②④
16.【答案】
17.【答案】解：（1）因为f（x）=ex-ax,x∈R，
令x=0，则f（0）=1，
所以函数f（x）=ex-ax与y轴的交点A的坐标为（0，1），
即A（0，1）；
（2）因为f（x）=ex-ax,
所以因为f′（x）=ex-a,
又因为f（x）的图像在点A（0，1）处的切线斜率为-1，
即f′（0）=e0-a=1-a=-1，
所以a=2，
所以f（x）=ex-2x,f′（x）=ex-2，
令f′（x）=ex-2=0，则x=ln2，
当x∈（-∞，ln2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）极小值=f（ln2）=2-2ln2，无极大值．
18.【答案】n=100；b=0.1 X的分布列为：
X 0 1 2
P
应选择方案二
19.【答案】y=0 a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）的极大值为alna-a+1，无极小值 | BC|＜|AC|
20.【答案】card（φ（A，A））=5；card（φ（B，B））=6；card（φ（A，B））=7；
；
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