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2025-2026学年浙江省衢州三中等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合M={1，0，a}，N={0，a2}，且N M，则实数a的值是（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2.已知随机变量X N（2，σ2），P（X＞1）=0.7，则P（X＜3）=（　　）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
3.下列求导运算正确的是（　　）
A. B. （sin3x）′=cos3x
C. （3x）′=3x D.
4.，，，则（　　）
A. c＜b＜a B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. b＜c＜a
5.如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（　　）
A.
B.
C.
D.
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，点E是A1B1的中点，那么异面直线DE和BC所成的角的余弦值等于（　　）
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（　　）
A. 108种 B. 96种 C. 84种 D. 72种
8.已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设离散型随机变量X的分布列为
X 4 6 8
P 0.3 0.4 m
若Y=2X-1，则（　　）
A. E（X）=6 B. D（X）=2.4 C. E（Y）=12 D. D（Y）=9.6
10.已知点M（x0，3）在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，C在A，B两点处的切线相交于点P，AB的中点是Q，若|MF|=5，则（　　）
A. B. 抛物线C的准线方程是y=-1
C. 点Q在抛物线上 D. 点P在C的准线上
11.设函数在上的最大值为an（n=1，2，…），则（　　）
A. B. fn（x）的极小值为
C. n≥2时，都有 D. fn（x）有两个极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为 .
13.已知复数，，a∈R，i是虚数单位，若z1+z2＜0，则|z1|= .
14.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作圆D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和P．
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求P的值；
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的首项，且满足.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求{bn}的前n项和Sn.
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，C1B=C1C，AB⊥AC，AB=AC=6，D是BC的中点，C1A=C1D=3
（1）求C1到平面ABC的距离；
（2）求平面ABB1A1与平面ABC1所成锐二面角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知过点的椭圆的离心率为.
（1）求C的方程；
（2）如图，AB和CD是过椭圆C左焦点F的弦，且AB⊥CD，点P为直线AD与BC的交点.
（i）求四边形ACBD面积的最大值.
（ii）若点M，N分别是弦AB，CD的中点，求△PMN面积的最大值.
19.(本小题17分)
若对 x1，x2∈D且x1＜x2，函数f（x），g（x）满足：|f（x1）-f（x2）|≥m|g（x1）-g（x2）|（m＞0），则称函数f（x）是函数g（x）在区间D上的m级控制函数.
（1）判断函数f（x）=x是否是函数g（x）=x2在区间上的1级控制函数，并说明理由；
（2）若函数f（x）=lnx是函数g（x）=x在区间[1，2]上的m级控制函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）是函数g（x）=lnx-x在区间（0，+∞）上的m级控制函数，且函数f（x）在区间（0，+∞）上存在两个零点a,b,求证：a+b＞2.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AD
11.【答案】AC
12.【答案】81
13.【答案】
14.【答案】或
15.【答案】解：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，
则1-P（）=1-=，
解得p=．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==．
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
Eξ==．
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】 （i）2；（ii）
19.【答案】是，理由如下：
函数f（x）=x是函数g（x）=x2在区间上的1级控制函数．
由题意可知，
∵，
∴0≤|x1+x2|≤1，
∴1-|x1+x2|≥0，
∵|x1-x2|＞0，
∴|x1-x2| （1-|x1+x2|）≥0，
∴，即|f（x1）-f（x2）|≥|g（x1）-g（x2）|成立，
∴函数f（x）=x是函数g（x）=x2在区间上的1级控制函数 证明：因为函数f（x）在区间（0，+∞）上存在两个零点a，b，
所以我们不妨设a＜b，且f（a）=f（b）=0，
因为函数f（x）是函数g（x）=lnx-x在区间（0，+∞）上的m级控制函数，
所以|f（a）-f（b）|≥m|g（a）-g（b）|，即0≥m|g（a）-g（b）|，
∴g（a）=g（b），可以得到lna-a=lnb-b，
∴lnb-lna=b-a，
∴，
要证a+b＞2，即证，
即证，即证，
令，构造，
∴，
∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）＞φ（1）=0，即成立，
∴a+b＞2得证
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