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2025-2026学年浙江省宁波市余姚市泗门镇中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在实数范围内有意义，则实数x的值可以为（　　）
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
2.下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A. 2x-1=0 B. =7 C. x2-2x-3=0 D. x+y=6
3.求一组数据方差的算式为：.由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A. n的值是5
B. 该组数据的平均数是7
C. 该组数据的众数是6
D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
4.把方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式，则m+n的值是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　）
A. x（60-x）=864 B. x（x-60）=864
C. x（60+x）=864 D. 2[x+（x+60）]=864
7.体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的1min跳绳次数，并绘制成如图的箱线图.下列说法正确的是（　　）
A. 八（1）班1min跳绳次数更集中
B. 1min跳绳次数最小值出现在八（2）班
C. 两个班级1min跳绳次数的中位数相等
D. 八（2）班1min跳绳次数整体比八（1）班好
8.若关于x的一元二次方程（a-1）x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A. a≤2 B. a＜2 C. a≤2且a≠1 D. a＜2且a≠1
9.数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（　　）
A. {7，9}与{11，13，15} B. {7，11}与{9，13，15}
C. {7，15}与{9，11，13} D. {11，15}与{7，9，13}
10.古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程x2+2mx=64，按照图1，构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，连接CD，若，则m的值为（　　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.当二次根式取最小值时，x= .
12.一组数据3，2，6，7，4，6的下四分位数是 .
13.某公司对A，B两个型号的人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行打分.各项成绩均按百分制计，然后按语言交互能力占20%、分析能力占50%、学习能力占30%来计算两个型号的人工智能产品的综合能力得分.下表是A，B两个型号的人工智能产品三项能力的得分，则综合能力更强的是 （填“A”或“B”）型号人工智能产品.
型号 语言交互能力 分析能力 学习能力
A 70 90 80
B 75 80 90
14.若关于x的一元二次方程（a+3）x2-4x+a2-9=0有一个根为0，则a的值为 .
15.若（3x+2y-19）2+|2x+y-11|=0，则的值是 .
16.设m满足不等式m≤40，且关于x的一元二次方程（x-2）2+（a-m）2=2mx+a2-2am有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
解方程：
（1）x2-2x=0；
（2）x2-4x-5=0.
19.(本小题8分)
已知，求下列代数式的值：
（1）x2y+xy2；
（2）.
20.(本小题8分)
为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛.竞赛结束后，从竞赛成绩中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为______分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数.
21.(本小题8分)
某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
22.(本小题10分)
设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时，求x2及m的值.
（2）求证：（x1-1）（x2-1）≤0.
23.(本小题10分)
甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为46米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米.
（1）如图1，当AD≤MN时，
①AD=______米（用含x的代数式表示）.
②若围成的养鸡场面积为160平方米，求AB的长.
（2）如图2，当AD＞MN时，直接写出养鸡场可达到的最大面积______.
24.(本小题12分)
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”.通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2-4ac一定为完全平方数.现规定为该“快乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程”x2-3x-4=0的两根均为整数，其“快乐数”F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程”px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数”F（p,q,r），且满足r F（a,b,c）=c F（p,q,r），则称F（a,b,c）与F（p,q,r）互为“开心数”.
（1）“快乐方程”x2-4x-12=0的“快乐数”为______；
（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值是______.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】5
12.【答案】3
13.【答案】A
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】7
17.【答案】-1
18.【答案】解：（1）x2-2x=0，
x（x-2）=0，
x=0或x-2=0，
所以x1=0，x2=2；
（2）x2-4x-5=0，
（x-5）（x+1）=0，
x-5=0或x+1=0，
所以x1=5，x2=-1．
19.【答案】 10
20.【答案】84 50;80 120人
21.【答案】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,
根据题意得：125（1-x）2=80，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合题意，舍去）．
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）设购进y件甲种商品，则购进（100-y）件乙种商品，
根据题意得：（125-25×2）y+80（100-y）≤7800，
解得：y≥40，
∴y的最小值为40．
答：最少购进40件甲种商品．
22.【答案】（1）解：把x1=-1代入方程（x-1）（x-2）=m2，
得m2=6，
∴．
∴（x-1）（x-2）=6，即x2-3x-4=0．
∴（x-4）（x+1）=0．
∴x1=-1，x2=4．
∴．
（2）证明：方程（x-1）（x-2）=m2可化为x2-3x+2-m2=0．
∵Δ=9-4（2-m2）=4m2+1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
∵方程（x-1）（x-2）=m2即x2-3x+2-m2=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=3，x1 x2=2-m2．
∴（x1-1）（x2-1）
=x1 x2-（x1+x2）+1
=2-m2-3+1
=-m2．
∵m2≥0，
∴-m2≤0，即（x1-1）（x2-1）≤0．
23.【答案】①（48-2x）；②20米 210.25平方米
24.【答案】-16 m=3， 0或3
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